Категория запятой

Категория запятой — специальная теоретико-категорная конструкция, позволяющая изучать морфизмы не как соотнесения объектов категории друг с другом, а как самостоятельные объекты. Строится как особая категория для произвольной пары функторов в общую категорию, описана Ловером как обобщение категорий объектов и морфизмовШаблон:Переход. Название «категория запятой» появилось из-за первоначального обозначения Ловера; впоследствии стандартное обозначение изменилось из соображений удобства, но название для конструкции сохранилось.

Общее определение

Категорию запятой $S\downarrow T$ (обозначение Ловера — $(S,T)$) для функторов $S:𝒜⟶𝒞$ и $T:ℬ⟶𝒞$ можно построить следующим образом:

• объекты — все тройки вида $(\alpha ,\beta ,f)$, где $\alpha$ — объект $𝒜$, $\beta$ — объект $ℬ$, и $f:S(\alpha )\to T(\beta )$ — морфизм в $𝒞$,
• морфизмы из $(\alpha ,\beta ,f)$ в $({\alpha }^{\prime },{\beta }^{\prime },f^{\prime })$ — все пары $(g,h)$, где $g:\alpha \to {\alpha }^{\prime }$, $h:\beta \to {\beta }^{\prime }$ — морфизмы в $𝒜$ и $ℬ$ соответственно, такие что следующая диаграмма коммутирует:

$\begin{array}{ccc}S(\alpha )& \stackrel{S(g)}{\to }& S({\alpha }^{\prime })\\ f\downarrow & & \downarrow f^{\prime }\\ T(\beta )& \underset{T(h)}{\overset{}{\to }}& T({\beta }^{\prime })\end{array}$

Композиция морфизмов $(g,h)\circ (g^{\prime },h^{\prime })$ берётся как $(g\circ g^{\prime },h\circ h^{\prime })$, если последнее выражение определено. Тождественный морфизм объекта $(\alpha ,\beta ,f)$ — это $({\mathrm{i}\mathrm{d}}_{\alpha },{\mathrm{i}\mathrm{d}}_{\beta })$.

Категории объектов и морфизмов

Категория объектов над заданным объектом $A\in \mathrm{O}\mathrm{b}𝒞$ — категория запятой ${\mathrm{I}\mathrm{d}}_{𝒞}\downarrow 1_A$, где ${\mathrm{I}\mathrm{d}}_{𝒞}:𝒞⟶𝒞$ — тождественный функтор, а $1_A:\mathbf{\text{1}}⟶𝒞$ — функтор из категории с одним объектом $*$ и одним морфизмом, заданный как $1(*)=A$. В этом случае используют обозначение $𝒞\downarrow A$. Объекты вида $(\alpha ,*,f)$ — это просто пары $(\alpha ,f)$, где $f:\alpha \to A$. Иногда в этой ситуации $f$ обозначают как ${\pi }_{\alpha }$. Морфизм из $(B,{\pi }_B)$ в $(B^{\prime },{\pi }_{B^{\prime }})$ — это морфизм $g:B\to B^{\prime }$, замыкающий следующую диаграмму до коммутативной:

Двойственный случай — категория объектов под $A$ — $1_A\downarrow {𝐈𝐝}_{𝒞}$. В этом случае используют обозначение $A\downarrow 𝒞$. Объекты — пары $(B,i_B)$, где $i_B:A\to B$. Морфизм между $(B,i_B)$ и $(B^{\prime },i_{B^{\prime }})$ — отображение $h:B\to B^{\prime }$, замыкающее следующую диаграмму до коммутативной:

Ещё один частный случай — категория морфизмов — категория запятой ${\mathrm{I}\mathrm{d}}_{𝒞}\downarrow {\mathrm{I}\mathrm{d}}_{𝒞}$, её объекты — морфизмы $𝒞$, а морфизмы — коммутативные квадраты в $𝒞$.

Примеры

Категория множеств с отмеченной точкой — это категория запятой $\bullet \downarrow {\mathrm{I}\mathrm{d}}_{𝐒𝐞𝐭}$, где $\bullet$ — функтор, выбирающий некоторый синглетон и ${𝐈𝐝}_{𝐒𝐞𝐭}$ — тождественный функтор для категории множеств. Сходным образом можно образовать категорию топологических пространств с отмеченной точкой $\bullet \downarrow {\mathrm{I}\mathrm{d}}_{𝐓𝐨𝐩}$.

Категория графов — это категория запятой ${\mathrm{I}\mathrm{d}}_{𝐒𝐞𝐭}\downarrow D$, где $D:𝐒𝐞𝐭⟶𝐒𝐞𝐭$ — функтор, отправляющий $s$ в $s\times s$. Объекты вида $(a,b,f)$ состоят из двух множеств и функции; $a$ — индексирующее множество для рёбер, $b$ — множество вершин, тогда $f:a\to (b\times b)$ выбирает пару элементов $b$ для каждого $a$, то есть $f$ выбирает определённое ребро из множества возможных рёбер $b\times b$. Морфизмы в этой категории — функции на индексирующем множестве и множестве вершин, такие что образы вершин, соответствовавших данному ребру, будут соответствовать его образу.

Забывающие функторы

Для любой категории запятой определены два забывающих функтора из неё — функтор прообраза $S\downarrow T\to 𝒜$, который отображает:

• объекты: $(\alpha ,\beta ,f)\mapsto \alpha$,
• морфизмы: $(g,h)\mapsto g$,

и функтор образа $S\downarrow T\to ℬ$, который отображает:

• объекты: $(\alpha ,\beta ,f)\mapsto \beta$,
• морфизмы: $(g,h)\mapsto h$.

Сопряжения

Функторы $F:𝒞⟶𝒟$ и $G:𝒟⟶𝒞$ сопряжены тогда и только тогда, когда категории запятой $F\downarrow {\mathrm{I}\mathrm{d}}_{𝒟})$ и $({\mathrm{I}\mathrm{d}}_{𝒞}\downarrow G)$ изоморфны, причём эквивалентные элементы проектируются на один и тот же элемент $𝒞\times 𝒟$. Это позволяет описать сопряжённые функторы, не используя множества, и это было главной причиной появления конструкции категорий запятой.

Естественные преобразования

Если образы функторов $S$ и $T$ совпадают, то диаграмма, определяющая морфизм в $S\downarrow T$ с $\alpha =\beta ,{\alpha }^{\prime }={\beta }^{\prime },g=h$ совпадает с диаграммой, определяющей естественное преобразование $S\to T$. Различие между двумя определениями состоит в том, что естественное преобразование — это определённый класс морфизмов вида $S(\alpha )\to T(\alpha )$, тогда как объекты категории запятой — это все морфизмы такого вида. Функтор в категорию запятой может выбрать конкретное семейство морфизмов. И действительно, естественному преобразованию $\eta :S\to T$, где $S,T:𝒜\to 𝒞$ соответствует функтор $𝒜\to (S\downarrow T)$ который отображает объект $\alpha$ в $(\alpha ,\alpha ,{\eta }_{\alpha })$ и морфизмы $g$ в $(g,g)$. Это задаёт биекцию между естественными преобразованиями $S\to T$ и функторами $𝒜\to (S\downarrow T)$, которые являются левыми обратными обоих забывающих функторов из $S\downarrow T$.

Литература

• Шаблон:Книга:Категории для работающего математика