Квантовая яма с бесконечными стенками

Ква́нтовая я́ма с бесконе́чными сте́нками (Бесконечная прямоугольная потенциальная яма) — область пространства размером порядка длины волны де Бройля рассматриваемой частицы (хотя бы в одном направлении), вне которой потенциальная энергия $U$ бесконечна. Иногда данную область называют «ящиком» (Шаблон:Lang-en).

Для демонстрации основных черт поведения частицы в яме удобны такие профили потенциальной энергии, при которых движение происходит независимо по трём декартовым координатам и переменные в уравнении Шрёдингера разделяются. Часто анализируется прямоугольная область по всем измерениям (прямоугольный «ящик»), а потенциальная энергия в нём полагается нулевой.

Могут быть рассмотрены системы с ограничением движения частицы по одной координате (собственно яма), по двум (квантовый провод) или по трём (квантовая точка). При ограничении по одной координате «ящик» представляет собой плоскопараллельный слой, а обращение $U$ в бесконечность математически отражают в граничных условиях, считая, что волновые функции равны нулю на концах соответствующего отрезка. При ограничении по нескольким координатам на границах ставятся граничные условия Дирихле.

Одномерная потенциальная яма с бесконечными стенками

Потенциал одномерной потенциальной ямы с бесконечными стенками имеет вид

$U(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x\in (-\frac{a}{2},\frac{a}{2}),\\ \mathrm{\infty },& x\notin (-\frac{a}{2},\frac{a}{2})\end{array}$

Стационарное уравнение Шрёдингера на интервале $(-\frac{a}{2},\frac{a}{2})$

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\Psi }}^{″}(x)=E\mathrm{\Psi }(x).$

С учётом обозначения $k=\sqrt{2mE/{\hslash }^2}$, оно примет вид:

${\mathrm{\Psi }}^{″}(x)+k^2\mathrm{\Psi }(x)=0.$

Общее решение удобно представить в виде линейной оболочки чётных и нечётных функций:

$\mathrm{\Psi }(x)=C^{+}\cos kx+C^{-}\sin kx.$

Граничные значения имеют вид:

$\mathrm{\Psi }(-\frac{a}{2})=\mathrm{\Psi }\left(\frac{a}{2}\right)=0.$

Они приводят к однородной системе линейных уравнений:

$\{\begin{array}{c}{C}^{+}\cos \frac{ka}{2}+C^{-}\sin \frac{ka}{2}=0,\\ C^{+}\cos \frac{ka}{2}-C^{-}\sin \frac{ka}{2}=0,\end{array}$

которая имеет нетривиальные решения при условии равенства нулю её определителя:

$-2\cos \frac{ka}{2}\sin \frac{ka}{2}=0,$

что после тригонометрических преобразований принимает вид:

$\sin ka=0.$

Корни этого уравнения имеют вид

$k_n=\frac{\pi n}{a},n\in {\mathbb{Z}}_{+}.$

Подставляя в систему, имеем:

$C_n^{-}=0,n=2n_0+1,n_0\in {\mathbb{Z}}_{+},$

$C_n^{+}=0,n=2n_0,n_0\in {\mathbb{Z}}_{+}.$

Таким образом, решения распадаются на две серии — чётных и нечётных решений:

${\mathrm{\Psi }}_{n_0}^{+}(x)=C_{2n_0+1}^{+}\cos \frac{(2n_0+1)\pi x}{a},n_0\in {\mathbb{Z}}_{+},$

${\mathrm{\Psi }}_{n_0}^{-}(x)=C_{2n_0}^{-}\sin \frac{2n_0\pi x}{a},n_0\in {\mathbb{Z}}_{+}.$

Тот факт, что решения разбиваются на чётные и нечётные связан с тем, что потенциал сам по себе является чётной функцией. С учётом нормировки

$\underset{-\frac{a}{2}}{\overset{\frac{a}{2}}{\int }}{({\mathrm{\Psi }}_{n_0}^{\pm }(x))}^{2}dx=1,$

получим явный вид нормировочных множителей:

$C_{2n_0+1}^{+}=C_{2n_0}^{-}=\sqrt{\frac{2}{a}}.$

В результате получим собственные функции гамильтониана:

${\mathrm{\Psi }}_{n_0}^{+}(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\cos \frac{(2n_0+1)\pi x}{a},n_0\in {\mathbb{Z}}_{+},$

${\mathrm{\Psi }}_{n_0}^{-}(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{2n_0\pi x}{a},n_0\in {\mathbb{Z}}_{+},$

с соответствующим энергетическим спектром:

$E_{n_0}^{+}=\frac{{\hslash }^2{\pi }^2(2n_0+1{)}^2}{2m{a}^2}$

$E_{n_0}^{-}=\frac{{\hslash }^2{\pi }^2(2n_0{)}^2}{2m{a}^2}$

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга