Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера

Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера — линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi (x)}{d{x}^2}+U(x)\psi (x)=E\psi (x),(1)$

где $\hslash$ — постоянная Планка, $m$ — масса частицы, $U(x)$ — потенциальная энергия, $E$ — полная энергия, $\psi (x)$ — волновая функция. Для полной постановки задачи о нахождении решения $(1)$ надо задать также граничные условия, которые представляются в общем виде для интервала $[a,b]$

${\alpha }_1\psi (a)+{\beta }_1\frac{d\psi (a)}{dx}={\gamma }_1,(2)$ ${\alpha }_2\psi (b)+{\beta }_2\frac{d\psi (b)}{dx}={\gamma }_2,(3)$

где ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1,{\beta }_2,{\gamma }_1,{\gamma }_2$ — константы. Квантовая механика рассматривает решения уравнения $(1)$ с граничными условиями $(2)$ и $(3)$.

Общие свойства

Исходя из физического смысла волновая функция должна быть однозначной и непрерывной функцией своих координат. Условие нормировки появляется из интерпретации квадрата волновой функции как вероятности,

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}|\psi (x){|}^{2}dx=1.(0a)$

Отсюда следует, в частности, что волновая функция должна достаточно быстро спадать как функция

$x$

. В одномерном случае, если волновая функция

$\psi (x)\sim 1/x^{\alpha }$

при

$x⟶+\mathrm{\infty }$

, то показатель степени в соответствии с выражением

${\int }^{+\mathrm{\infty }}|\psi (x){|}^{2}dx={\int }^{+\mathrm{\infty }}1/x^{2\alpha }dx=1/x^{2\alpha -1}{\mid }^{+\mathrm{\infty }}⟶0,(0b)$

должен удовлетворять неравенству

$\alpha >1/2.$

Интегрирование уравнения $(1)$ в малой окрестности точки $a$ даёт дополнительные условия на производную волновой функции

$\underset{a-\epsilon }{\overset{a+\epsilon }{\int }}\frac{d^2\psi (x)}{d{x}^2}dx=\frac{2m}{{\hslash }^2}\underset{a-\epsilon }{\overset{a+\epsilon }{\int }}(U(x)-E)\psi (x)dx,(0c)$

из которого в пределе $\epsilon ⟶0$ следует

${\frac{d\psi (x)}{dx}|}_{a+0}-{\frac{d\psi (x)}{dx}|}_{a-0}=0,(0d)$

если потенциальная энергия имеет в точке $a$ разрывы первого рода (конечные скачки). Если же в точке a имеется разрыв второго рода, например потенциальная энергия описывается дельта-функцией ($U(x)=-G\delta (x-a)$), то условие $(0c)$ принимает вид

${\frac{d\psi (x)}{dx}|}_{a+0}-{\frac{d\psi (x)}{dx}|}_{a-0}=\frac{2m}{{\hslash }^2}(-G)\psi (a).(0e)$

Если энергетический спектр невырожден, то существует только одна волновая функция, являющаяся решением уравнения Шрёдингера для данной энергии, причём она определена с точностью до фазы. В случае, когда потенциал симметричен, волновые функции будут либо чётными, либо нечётными и чётность волновых функций чередуется.

Точные аналитические решения

В общем виде решения уравнения $(1)$, с граничными условиями $(2)$ и $(3)$ не существует, но при некотором выборе потенциальной энергии можно найти точные решения. Они играют важную роль в построении аналитических приближенных решений уравнения $(1)$.

Решение для свободной частицы — плоские волны

В свободном пространстве, где отсутствуют потенциалы уравнение $(1)$ принимает особенно простой вид

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi (x)}{d{x}^2}=E\psi (x).(4)$

Частными решениями этого уравнения являются функции

${\psi }_E\left(x\right)=C{e}^{\pm \sqrt{2mE}x/\hslash }.(4a)$

Здесь энергия $E$ может принимать все значения выше нуля, поэтому говорят, что собственное значение принадлежит непрерывному спектру. Для функций (4a) интеграл (0а), определяющий условие нормировки, расходится. В этом случае нормировочную константу $C$ следует определить из условия

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}dx{\psi }_E^{*}\left(x\right){\psi }_{E^{\prime }}\left(x\right)=\delta (E-E^{\prime }),$

где $\delta \left(x\right)$ - дельта функция Дирака. В результате получаем $C=1/\sqrt{2\pi \hslash \text{v}}$, где  $\text{v}=\sqrt{2E/m}$ - скорость частицы.

Для уравнения (4) общим решением является суперпозиция плоских волн

$\psi (x)=C_1{e}^{i\sqrt{2mE}x/\hslash }+C_2{e}^{-i\sqrt{2mE}x/\hslash }.(5)$

Решение для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками

Если поместить частицу в потенциальную яму, то непрерывный спектр энергий становится дискретным. Для уравнения $(1)$ с потенциальной энергией $U(x)$, которая равна нулю в интервале $(0,a)$ и становится бесконечной в точках $0$ и $a$. На этом интервале уравнение Шрёдингера совпадает с $(4)$. Граничные условия $(2)$, $(3)$ для волновой функции запишутся в виде

$\psi (0)=0,(6)$ $\psi (a)=0.(7)$

Ищем решения в виде $A\sin (\sqrt{2mE/{\hslash }^2}x+\delta )$. С учётом граничных условий получаем для собственных значений энергии $E_n$

$E_n=\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{a}^2}{n}^2(8)$

и собственных функций с учётом нормировки

${\psi }_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{\pi n}{a}x.(9)$

Численные решения

Сколько-нибудь сложный потенциал в уравнении

$(1)$

уже не позволяет найти аналитическое решение (вернее, это решение можно найти лишь для задачи об одной частице, движущейся в поле другой), и поэтому требуется привлекать численные методы для решения уравнения Шрёдингера. Одним из самых простых и доступных из них является метод конечных разностей, в котором уравнение

$(1)$

заменяется уравнением в конечных разностях на выбранной сетке с узлами в точках

$x_n$

, а именно, заменяя вторую производную по формуле

$\frac{d^{2}y(x)}{d{x}^2}=\frac{y_{n-1}-2y_n+y_{n+1}}{h^2},(10)$

где $h$ — шаг дискретизации, $n$ — номер узла сетки, получим

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{y_{n-1}-2y_n+y_{n+1}}{h^2}+U_n{y}_n=E{y}_n,(11)$

где $U_n$ — значение потенциальной энергии $U(x)$ на узлах сетки. Пусть $a$ некоторый характерных масштаб потенциала, тогда уравнение $(11)$ можно записать в безразмерном виде

$-y_{n-1}+(2+h^2\frac{2m{a}^2{U}_n}{{\hslash }^2})y_n-y_{n+1}=h^2\frac{2m{a}^{2}E}{{\hslash }^2}{y}_n.(12)$

Если обозначить безразмерные величины потенциальной энергии $v_n=\frac{2m{a}^2{U}_n}{{\hslash }^2}$ и собственные значения $e=h^2\frac{2m{a}^{2}E}{{\hslash }^2}$, то уравнение $(12)$ упростится

$-y_{n-1}+(2+h^2{v}_n-e)y_n-y_{n+1}=0.(13)$

Под последним выражением надо понимать систему уравнений для всех возможных индексов $n$.

Литература

• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М. Мир, 1990. — 720с. ISBN 5-03-001311-3
• Березин Ф. А., Шубин М. А. Уравнение Шредингера. Изд-во МГУ, 1983.
• Калиткин Н. Н. Численные методы. М., Наука, 1978.

См. также

• Яма с бесконечными стенками
• Треугольная квантовая яма