Кинематика сплошной среды

Кинематика сплошной среды (от Шаблон:Lang-grc — движение) — раздел кинематики, изучающий движение сплошной среды (модели деформируемого тела, жидкости или газа), не вдаваясь в вызывающие его причины. В силу относительности движения, обязательно указание системы отсчёта, относительно которой описывается движение.

Модель сплошной среды

Модель оперирует понятием элементарного объема $dV$, который мал по сравнению с характерным размером задачи, но в котором много частиц (атомов, молекул, пр.), взаимодействующих друг с другом. Длина свободного пробега (среднее расстояние, которое проходит частица между столкновениями) при этом должна быть много меньше характерного размера $dV$. Такую модель можно описывать частицами сплошной среды — элементарными объёмами сплошной среды в которых характеристики сплошной среды (множества частиц рассматриваемого объекта) можно считать постоянными.

Лагранжев и эйлеров подходы для описания сплошной среды

Для идентификации частиц сплошной среды, требуется их пронумеровать. Вследствие трёхмерности пространства, используются три переменные $({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)$. Такие идентификационные параметры частиц среды называются лагранжевыми (или материальными) координатами. В качестве лагранжевых координат можно выбрать, например, декартовы координаты частиц в некоторый момент времени $\tau$. Вообще говоря, способ «нумерации» частиц среды может быть произвольным.

Координаты точек среды $(x_1,x_2,x_3)$ в пространственной системе координат называются эйлеровыми (или пространственными) координатами. Решением задачи кинематики сплошной среды является установление координат $(x_1,x_2,x_3)$ материальной частицы $({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)$ в любой момент времени, то есть нахождении функций $x_i=f(t,{\xi }_j{|}_{j=1,2,3}){|}_{i=1,2,3}$ или же функций ${\xi }_i=g(t,x_j{|}_{j=1,2,3}){|}_{i=1,2,3}$, сопоставляющих каждой частице её положение во времени.

Любую функцию, описывающую свойства частиц сплошной среды (плотность, температуру, ускорение, и т. д.) можно определять как функцию лагранжевых координат $\rho (t,{\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)$ (лагранжев подход), так и функцию эйлеровых координат $\rho (t,x_1,x_2,x_3)=\underset{\mathrm{\Delta }V\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }M(\cdot )}{\mathrm{\Delta }V}$ (эйлеров подход).

Для любой функции в эйлеровых переменных $f(t,x_1,x_2,x_3)$ выполняется

$\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t}+v_1\frac{\partial f}{\partial x_1}+v_2\frac{\partial f}{\partial x_2}+v_3\frac{\partial f}{\partial x_3}$.

Траекториeй частицы называется геометрическое место ее положений во все моменты времени. Траектория частицы определяется законом движения

Линией тока в момент времени $\tau$ называется кривая, направление касательной которой в каждой точке совпадает в направлением вектора скорости сплошной среды $\overrightarrow{v}(t,x_1,x_2,x_3)$ в этот момент времени. Линии тока определяются из уравнений

$\frac{d{x}_1}{v_1(\tau ,x_i)}=\frac{d{x}_2}{v_2(\tau ,x_i)}=\frac{d{x}_3}{v_3(\tau ,x_i)}{|}_{i=1,2,3}$.

Формула Коши-Гельмгольца

Формула Коши-Гельмгольца определяет скорость частиц среды в точке $A$, находящейся в малой окрестности некоторой точки $O$.

${\overrightarrow{v}}_A={\overrightarrow{v}}_O+\hat{E}\overrightarrow{r}+\frac{1}{2}(\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{v})\times \overrightarrow{r}$

где $\hat{E}=(e_{ij})$ — тензор скоростей деформаций, а $\hat{\epsilon }=(e_{ij}dt)$ — тензор малых деформаций, $\frac{1}{2}\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{v}=\overrightarrow{\omega }$ — вектор вихря.

Шаблон:Начало скрытого блока Не ограничивая общности, можно считать, что $O(0,0,0)$ совпадает с началом координат. Точка $A$ в координатах представима как $A(x_1,x_2,x_3)$.

В линейном приближении (здесь и далее $i=1,2,3$):

$v_i(t,\overrightarrow{r})-v^i(t,\overrightarrow{O})=\frac{\partial v_i}{\partial x_1}{x}_1+\frac{\partial v_i}{\partial x_2}{x}_2+\frac{\partial v_i}{\partial x_3}{x}_3=\overrightarrow{r}\cdot \mathrm{\nabla }{v}_i$,

где $\mathrm{\nabla }$ - оператор набла, $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{OA}=(x_1,x_2,x_3)$.

Перемещение точки $A$ относительно $O$ имеет вид $d\overrightarrow{r}=({\overrightarrow{v}}_A-{\overrightarrow{v}}_O)dt$, из показанного выше $d\overrightarrow{r}=(\overrightarrow{r}\mathrm{\nabla })\overrightarrow{v}dt$ или покоординатно

$d{x}_i=\sum _{j=1}^3(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}\cdot x_j)dt$.

Можно переписать

$d{x}_i=\sum _j(e_{ij}{x}_j+f_{ij}{x}_j)dt$

где

$e_{ij}=\frac{1}{2}(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}+\frac{\partial v_j}{\partial x_i})$, а $f_{ij}=\frac{1}{2}(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}-\frac{\partial v_j}{\partial x_i})$.

После преобразования

$\sum _j{f}_{ij}{x}_j={[\frac{1}{2}(\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{v})\times \overrightarrow{r}]}_i$

Получается формула Коши-Гельмгольца:

$d\overrightarrow{r}=\hat{E}\overrightarrow{r}dt+(\frac{1}{2}(\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{v})\times \overrightarrow{r})dt$

Таким образом, $d{\overrightarrow{r}}_A=d{\overrightarrow{r}}_O+\hat{E}\overrightarrow{r}dt+(\frac{1}{2}(\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{v})\times \overrightarrow{r})dt$, или для скоростей: ${\overrightarrow{v}}_A={\overrightarrow{v}}_O+\hat{E}\overrightarrow{r}+\frac{1}{2}(\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{v})\times \overrightarrow{r}$.

Если ввести квадратичную функцию

$\phi (x_1,x_2,x_3)=(e_{11}{x}_1^2+2e_{12}{x}_1{x}_2+2e_{13}{x}_1{x}_3+e_{22}{x}_2^2+2e_{23}{x}_2{x}_3+e_{33}{x}_3^2)/2$,

её градиент совпадает с вектором $\hat{E}\overrightarrow{r}$, так как

$\frac{\partial \phi }{\partial x_i}=e_{i1}{x}_1+e_{i2}{x}_2+e_{i3}{x}_3=(\hat{E}\overrightarrow{r}{)}_i$

Поэтому формулу Коши-Гельмгольца можно записать ещё так:

${\overrightarrow{v}}_A={\overrightarrow{v}}_O+\omega \times \overrightarrow{r}+\mathrm{\nabla }\phi (\overrightarrow{r})+o(\overrightarrow{r})$.

Первые два слагаемых этой формулы - такие же, как в распределении скоростей абсолютно твёрдого тела (поступательное движение + вращательное), они определяют бездеформационную часть движения, а оставшаяся часть задаёт деформацию частиц среды вблизи точки O. С точностью до малых выше первого порядка по $\overrightarrow{r}$, её можно считать градиентом некоторой квадратичной формы от координат $\phi (\overrightarrow{r})$, которая в таком случае называется потенциалом деформаций в точке O. Потенциал деформаций не является инвариантной величиной, он зависит от выбора координат вблизи точки O.

Чистая деформация

Cлучай чистой деформации возникает при отсутствии вращательной части движения $(\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{v}=0)$. В главной системе координат (в соответствующих главных осях) справедливо:

$\hat{\epsilon }=\left(\begin{array}{ccc}{\epsilon }_1& 0& 0\\ 0& {\epsilon }_2& 0\\ 0& 0& {\epsilon }_3\end{array}\right)$

По формуле Коши-Гельмгольца $d\overrightarrow{r}={\epsilon }_1{r}_1{\overrightarrow{e}}_1+{\epsilon }_2{r}_2{\overrightarrow{e}}_2+{\epsilon }_3{r}_3{\overrightarrow{e}}_3$.

В случае чистой деформации точки малой частицы сплошной среды, лежащие в момент $t$ на сфере радиуса $a$ $({\xi }_1^2+{\xi }_2^2+{\xi }_3^2=a^2)$ перейдут за $dt$ в эллипсоид, называемый эллипсоидом деформации. Точки частицы сплошной среды, лежащие на главных осях деформации, останутся после деформации на тех же осях, испытая лишь смещение вдоль них.

Длины главных осей эллипсоида описываются $e_1,e_2,e_3$ — корнями $a^2=\frac{R^2}{1-2e_{1}dt},b^2=\frac{R^2}{1-2e_{2}dt},c^2=\frac{R^2}{1-2e_{3}dt}$.

Однородная деформация

В том случае, когда $\hat{E},\overrightarrow{\omega }$, определяющие чистую деформацию и вращение частицы являются постоянными, деформация называется однородной.

При однородной деформации:

• Точки среды, лежащие на плоскости или на прямой, остаются после деформации соответственно на некоторой плоскости или на прямой;
• Направления главных осей деформации для любой точки среды будут одинаковы;
• Если $\hat{E}$ в некоторый момент времени одинаков во всех точках среды, то в этот момент и $\overrightarrow{\omega }$ одинаков во всех точках среды.

Условие совместности

В силу определения $e_{ij}=e_{ji}$, эти тензоры имеют только 6 различающихся компонент. Эти 6 компонент все еще не являются независимыми, так как выражаются через три компоненты скорости $(v_1,v_2,v_3)$. В силу зависимости они удовлетворяют соотношениям, которые называются условиями совместности Сен-Венана:

$\frac{{\partial }^2{e}_{ij}}{\partial x_k\partial x_l}=\frac{{\partial }^2{e}_{kl}}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{{\partial }^2{e}_{kj}}{\partial x_i\partial x_l}=\frac{{\partial }^2{e}_{il}}{\partial x_k\partial x_j}{|}_{i,j,k,l=1,2,3}$

Из этих 81 уравнений лишь 6 являются независимыми.

Литература

• Лекции по механике сплошных сред, М. Э. Эглит, Лекция 1, 7-11
• Механика сплошных сред, Л. И. Седов, Том 1, Глава 2