Линейное приближение

Линейное приближение (линейная аппроксимация) — приближение произвольной функции линейной функцией. Применяется для приближённых расчётов, в методе конечных разностей для решения дифференциальных уравнений.

График $f_a^{*}(x)$ — касательная в точке $(a,f(a))$

Для непрерывно дифференцируемой в окрестности точки $a$ функции вещественной переменной $f(x)$ линейное приближение определяется как:

$f_a^{*}(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$.

Определение получается из равенства из теоремы Тейлора $f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+R_2$ игнорированием остаточного члена $R_2(x)=o(|x-a|)$. Поскольку в ближайшей окрестности точки $a$ значения этой функции близки к значениям $f(x)$, её можно использовать как замену значений $f(x)$ в приближённых вычислениях. При этом в общем случае погрешность возрастает при удалении от $a$ и равна $R_2$. График функции $f_a^{*}(x)$ — касательная к графику $f(x)$ в точке $a$.

Определение естественным образом обобщается на многомерный случай (вместо производной используется матрица Якоби) и на случай банаховых пространств (с использованием производной Фреше).

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга