Классический метод расчёта переходных процессов

Шаблон:Стиль статьи Название метода «классический» отражает использование в нем решений дифференциальных уравнений с постоянными параметрами методами классической математики. Данный метод обладает физической наглядностью и удобен для расчета простых цепей (расчет сложных цепей упрощается операторным методом).

Методика

Этапы расчета переходного процесса в цепи классическим методом:

1. Найти независимые начальные условия, то есть, напряжения на ёмкостях и токи на индуктивностях в момент начала переходного процесса.
2. Далее необходимо составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции и т.д., описывающих состояние цепи после коммутации, и исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение, в общем случае неоднородное относительно искомого тока $i$ или напряжения $u$. Для простых цепей получается дифференциальное уравнение первого или второго порядка, в котором в качестве искомой величины выбирают либо ток в индуктивном элементе, либо напряжение на емкостном элементе.
3. Далее следует составить общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения цепи в виде суммы частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения.
4. Наконец, в общем решении следует найти постоянные интегрирования из начальных условий, т. е. условий в цепи в начальный момент времени после коммутации.

Применительно к электрическим цепям в качестве частного решения неоднородного дифференциального уравнения выбирают установившийся режим в рассматриваемой цепи (если он существует), т. е. постоянные токи и напряжения, если в цепи действуют источники постоянных ЭДС и токов, или синусоидальные напряжения и токи при действии источников синусоидальных ЭДС и токов. Токи и напряжения установившегося режима называют установившимися.

Общее решение однородного дифференциального уравнения описывает процесс в цепи без источников ЭДС и тока, который поэтому называют свободным процессом. Токи и напряжения свободного процесса называют свободными, а их выражения должны содержать постоянные интегрирования, число которых равно порядку однородного уравнения.

Пример расчёта простейшего переходного процесса классическим методом

Файл:Transient in RL-circuit.gif

Переходный процесс в коммутируемой RL-цепочке

Задача

На рисунке изображена коммутируемая RL-цепочка. В некоторый момент времени t=0 ключ К замыкается. Определить зависимость тока в RL-цепочке от времени.

Решение

Согласно второму закону Кирхгофа, схема описывается следующим дифференциальным уравнением:

$U=iR+L\frac{di}{dt},$

где первый член описывает падение напряжения на резисторе R, а второй — на индуктивности L.

Делаем замену переменной $i=ab$ и приводим уравнение к виду:

$U=Rab+L(a^{\prime }b+a{b}^{\prime });U=a(Rb+L{b}^{\prime })+L{a}^{\prime }b.$

Поскольку один из сомножителей a, b можно выбрать произвольно, выберем b так, чтобы выражение в скобках было равно нулю:

$Rb+L{b}^{\prime }=0.$

Разделяем переменные:

$\frac{b^{\prime }}{b}=-\frac{R}{L};\ln b=-\frac{R}{L}t;b=e^{-\frac{R}{L}t}.$

С учётом выбранного значения b дифференциальное уравнение приводится к виду

$U=L{a}^{\prime }{e}^{-\frac{R}{L}t};a^{\prime }=\frac{U{e}^{\frac{R}{L}t}}{L};$

Интегрируя, получаем

$a=\frac{L}{R}\cdot \frac{U{e}^{\frac{R}{L}t}}{L}+C=\frac{U{e}^{\frac{R}{L}t}}{R}+C;$

Получаем выражение для тока

$i=ab=(\frac{U{e}^{\frac{R}{L}t}}{R}+C)\cdot e^{-\frac{R}{L}t}=\frac{U}{R}+C{e}^{-\frac{R}{L}t};$

Значение постоянной интегрирования находим из условия, что в момент t=0 тока в цепи не было:

$i(0)=0;\frac{U}{R}+C=0;C=-\frac{U}{R}.$

Окончательно получаем

$i=\frac{U}{R}(1-e^{-\frac{R}{L}t}).$

См. также

• Переходные процессы в электрических цепях

Литература

• Электротехника: Учеб. для вузов/А. С. Касаткин, М. В. Немцов.— 7-е изд., стер.— М.: Высш. шк., 2003.— 542 с.: ил. ISBN 5-06-003595-6

Ссылки

• Классический метод расчета переходных процессов Шаблон:Wayback на http://www.ups-info.ru Шаблон:Wayback
• Методика и примеры расчета переходных процессов классическим методом. Шаблон:Wayback на http://www.ups-info.ru Шаблон:Wayback