Критическая динамика

Критическая динамика — раздел теории критического поведения и статистической физики, описывающий динамические свойства физической системы в или вблизи критической точки. Является продолжением и обобщением критической статики, позволяя описывать величины и характеристики системы, которые нельзя выразить лишь через одновременны́е равновесные функции распределения. Такими величинами являются, например, коэффициенты переноса, скорости релаксации, разновременны́е корреляционные функции, функции отклика на зависящие от времени возмущения.

Как и вся статистическая физика, критическая динамика имеет дело с огромным или даже бесконечным количеством степеней свободы. Развитию таких систем во времени присущи различные стохастические (случайные) процессы: тепловое движение и соударение молекул в газовой системе, переориентация спинов решётки в твёрдом теле, возникновение и взаимодействие турбулентных вихрей в потоке жидкости. Постановка и решение подобных задач проводится с использованием формализма квантовой теории поля, создававшейся изначально для нужд физики высоких энергий и элементарных частиц. Стохастичность процессов моделируется путём введение в динамические уравнения дополнительного случайного члена — «шума» с известным (обычно Гауссовым) распределением.

Постановка задач стохастической динамики

Обозначив за $x$ совокупность пространственных координат и индексов системы, за $\varphi (x)$ весь набор полей в системе, можем записать стандартную постановку задачи стохастической динамики.

${\partial }_t\varphi (x)=U(x;\varphi )+\eta (x),<\hat{\eta }(x)\hat{\eta }(x^{\prime })>=D(x,x^{\prime })$

U здесь — заданный t-локальный функционал, $\eta$ — случайная внешняя сила, которая моделирует все быстро меняющиеся процессы в системе. Для неё предполагается Гауссово распределение с нулевым средним и заданным коррелятором D. Также выполняется условие запаздывания и некоторые граничные условия, которые обычно берут нулевыми при временах $t->-\mathrm{\infty }$

Это — наиболее общий вид уравнения эволюции в задачах стохастической динамики. Разумеется, не при любом выборе функционала U и коррелятора D оно будет иметь простое решение.

Приведём ниже несколько примеров задач стохастической динамики.

Броуновское движение

Запишем уравнения для Броуновского движения на языке стохастической динамики:

${\partial }_t{r}_i(t)={\eta }_i(t),<{\hat{\eta }}_i(t){\hat{\eta }}_k(t^{\prime })>=2\alpha {\delta }_{ik}\delta (t-t^{\prime })$

Здесь $\varphi (x)\equiv r_i(t)$, U = 0, константа $\alpha$ несёт смысл коэфф-та диффузии.

Уравнение Навье-Стокса

Динамическое уравнение Навье-Стокса также можно сформулировать на этом языке. Критическими задачами для уравнения будут задача описания турбулентности, в том числе развитой турбулентности (для систем с большими значениями чисел Рейнольдса), построения функции распределения вихрей по волновому вектору (в Фурье-представлении поля скорости) и проверки феноменологической теории Колмогорова.

${\partial }_t{\varphi }_i(x)=\nu \mathrm{\Delta }{\varphi }_i(x)-{\partial }_{i}P-{\varphi }_j{\partial }_j{\varphi }_i$

${\partial }_i{\varphi }_i=0$ (условие поперечности)

Здесь $\varphi$ — несжимаемое векторное поле скорости, $\nu$ — кинематическая вязкость, p — давление.

Задачи Ланжевеновского типа

В классе задач стохастической динамики традиционно выделяется более узкий класс задач критической динамики, в котором накладываются дополнительные условия на рассматриваемые поля и вид функционала U (t-локального функционала, стоящего в правой части динамического уравнения для полей). Во-первых, в качестве набора полей системы рассматривается набор полей, соответствующих т. н. мягким модам. Мягкой модой называют любую величину, крупномасштабные флуктуации которой медленно релаксируют, то есть в импульсном представлении скорость релаксации флуктуаций с заданным волновым вектором k стремится к нулю при $k->0$. Например, поле параметра порядка вблизи критической точки всегда само является мягкой модой. Во-вторых, функционал U будет являться вариационной производной от статического действия. Запишем соответствующую постановку задачи:

${\partial }_t{\varphi }_a=({\alpha }_{ab}+{\beta }_{ab})\frac{\delta S^{st}(\varphi )}{\delta {\varphi }_b}+{\eta }_a,<{\hat{\eta }}_a(x){\hat{\eta }}_b(x^{\prime })>=2{\alpha }_{ab}\delta (x-x^{\prime })$

${\alpha }_{ab}$ здесь называется коэффициентом Онсагера, $\beta ab$ — межмодовой связью.

Для них выполняются следующие условия:

${\alpha }_{ab}={\alpha }_{ba}$, то есть коэффициент Онсагера симметричен (это можно легко понять из того, что коррелятор возмущений случайных сил симметричен по определению)

${\beta }_{ab}=-{\beta }_{ba}$

Обоснование свойств межмодовой связи проводится с помощью уравнения Фоккера-Планка.

Таким образом, постановке той или иной задачи критической динамики соответствует задание набора описывающих систему полей, коэффициента Онсагера и межмодовой связи. Ниже приводится список наиболее широко распространённых и изученных моделей.

Модели критической динамики

Следуя классической статье [Hohenberg, Halperin], приведём стандартный список моделей критической динамики. Все они соответствуют статической $O_n-{\varphi }^4$-модели для поля параметра порядка, действие в этих моделям будет приведено явно.

Статическим действием $O_n-{\varphi }^4$-модели для n-компонентного поля $\psi$ является

$S^{st}(\psi )=-(\partial \psi {)}^2/2-\tau {\psi }^2/2-v_1({\psi }^2{)}^2/24$

Модели A и B

A и B — релаксационные модели, то есть межмодовая связь (антисимметричная часть соответствующей матрицы) равняется нулю.

Модель A описывает анизотропный ферромагнетик с однокомпонентным несохраняющимся полем параметра порядка, за которое в физической системе рассматривается проекция намагниченности на одну из осей координат;

Модель B описывает одноосный ферромагнетик с однокомпонентным сохраняющимся полем параметра порядка, за которое в физической системе выступает проекция намагниченности на одну из осей координат.

Модель A:

$\varphi =\{\psi \},S^{st}(\psi ),{\alpha }_{\psi }={\lambda }_{\psi }$,

где ${\lambda }_a\equiv const>0\mathrm{\forall }a$

Модель B:

$\varphi =\{\psi \},S^{st}(\psi ),{\alpha }_{\psi }=-{\lambda }_{\psi }\cdot {\partial }^2$

С точки зрения формальной постановки модели A и B отличаются, таким образом, лишь сохранением поля параметра порядка.

Модели C и D

Модели C и D также являются чисто релаксационными. Они являются обобщениями моделей A и B на случай сохранения энергии; в них вводится дополнительное сохраняющееся скалярное поле $m(x)=<\hat{E}(x)>$, описывающее флуктуации температуры.

Модель C:

$\varphi =\{\psi ,m\}$, где m -- добавочное сохраняющееся однокомпонентное поле

$S^{st}(\varphi )=S^{st}(\psi )-m^2/2-v_{2}m{\psi }^2/2$

${\alpha }_{\psi }={\lambda }_{\psi };{\alpha }_m=-{\lambda }_m\cdot {\partial }^2$

Модель D:

$\varphi =\{\psi ,m\}$, где m -- добавочное сохраняющееся однокомпонентное поле

$S^{st}(\varphi )=S^{st}(\psi )-m^2/2-v_{2}m{\psi }^2/2$

${\alpha }_{\psi }=-{\lambda }_{\psi }\cdot {\partial }^2;{\alpha }_m=-{\lambda }_m\cdot {\partial }^2$

Вновь, с точки зрения формальной постановки модели C и D отличаются лишь сохранением поля параметра порядка.

Литература

• Шаблон:Книга
• Hohenberg P. C. Halperin B. I. Theory of dynamic critical phenomena, Rev. Mod. Phys, Vol. 49, № 3, July 1977, pp 435–475

Ссылки

• MSR-формализмШаблон:Ref-en