Кубический сплайн

Кубический сплайн — гладкая функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых она совпадает с некоторым кубическим многочленом (полиномом).

Описание

Функция $f(x)$задана на отрезке $[a,b]$, разбитом на части $[x_{i-1},x_i]$, $a=x_0<x_1<...<x_N=b$. Кубическим сплайном дефекта 1 (разность между степенью многочлена и высшим порядком его непрерывной производной) называется функция $S(x)$, которая:

• на каждом отрезке $[x_{i-1},x_i]$ является многочленом степени не выше третьей;
• имеет непрерывные первую и вторую производные на всём отрезке $[a,b]$;
• в точках $x_i$ выполняется равенство $S(x_i)=f(x_i)$, т. е. сплайн $S(x)$ интерполирует функцию $f$в точках $x_i$.

Для однозначного задания сплайна перечисленных условий недостаточно, для построения сплайна необходимо наложить дополнительные требования — граничные условия:

1. "Естественный сплайн" — граничные условия вида: $S^{″}(a)=S^{″}(b)=0$;
2. Непрерывность второй производной — граничные условия вида: $S^{‴}(a)=S^{‴}(b)=0$;
3. Периодический сплайн — граничные условия вида: $S^{\prime }(a)=S^{\prime }(b)$и $S^{″}(a)=S^{″}(b)$.

Теорема: Для любой функции $f$ и любого разбиения отрезка $[a,b]$на части $[x_{i-1},x_i]$существует ровно один естественный сплайн $S_i(x)$, удовлетворяющий перечисленным выше условиям.

Эта теорема является следствием более общей теоремы Шёнберга-Уитни об условиях существования интерполяционного сплайна.

Построение

На каждом отрезке $[x_i,x_{i+1}],i=\overline{0,N-1}$ функция $S(x)$ есть полином третьей степени $S_i(x)$, коэффициенты которого надо определить. Запишем для удобства $S_i(x)$ в виде:

$S_i(x)=a_i+b_i(x-x_i)+c_i(x-x_i{)}^2+d_i(x-x_i{)}^3$

тогда

$S_i\left(x_i\right)=a_i,S{\text{'}}_i(x_i)=b_i,S^{\prime }{\text{'}}_i(x_i)=2c_i,S^{″}{\text{'}}_i\left(x_i\right)=6d_{i}i=\overline{1,N}.$

Условия непрерывности всех производных, до второго порядка включительно, записываются в виде

$S_i\left(x_i\right)=S_{i-1}(x_i),$

$S{\text{'}}_i\left(x_i\right)=S{\text{'}}_{i-1}(x_i),$

$S^{\prime }{\text{'}}_i\left(x_i\right)=S^{\prime }{\text{'}}_{i-1}(x_i),$

где $i$ меняется от $1$ до $N-1,$ а условия интерполяции — в виде

$S_i\left(x_i\right)=f(x_i),$

где $i$ меняется от $0$ до $N-1,$ и

$S_{N-1}\left(x_N\right)=f(x_N).$

Обозначим$:h_i=x_i-x_{i-1}(i=\overline{1,N}),f_i=f(x_i)(i=\overline{0,N})$

Отсюда получаем формулы для вычисления коэффициентов "Естественного сплайна":

$a_i=f(x_i)$;

$d_i=\frac{c_i-c_{i-1}}{3\cdot h_i}$;

$b_i=\frac{a_i-a_{i-1}}{h_i}-\frac{2\cdot c_{i-1}+c_i}{3}\cdot h_i$;

$c_{i-1}\cdot h_i+2\cdot c_i\cdot (h_i+h_{i+1})+c_{i+1}\cdot h_{i+1}=3\cdot (\frac{a_{i+1}-a_i}{h_{i+1}}-\frac{a_i-a_{i-1}}{h_i})$,

причем $c_N=S^{″}(x_N)=0$ и $c_1-3\cdot d_1\cdot h_1=S^{″}(x_0)=0$ .

Если учесть, что $c_0=c_N=0$, то вычисление $c$ можно провести с помощью метода прогонки для трёхдиагональной матрицы.

Литература

1. Шаблон:Книга
2. Шаблон:Книга
3. Шаблон:Книга
4. Шаблон:Книга

Ссылки

• Интерполяция кубическими сплайнами на JavaScript (рус.)
• Cubic Interpolation Шаблон:Sfn