Лагранжева система

Шаблон:Проще В математике лагранжевой системой называется пара $(Y,L)$ гладкого расслоения $Y\to X$ и лагранжевой плотности $L$, которая определяет дифференциальный оператор Эйлера — Лагранжа, действующий на сечения расслоения $Y\to X$.

В классической механике многие динамические системы являются лагранжевыми. Конфигурационным пространством такой лагранжевой системы служит расслоение $Q\to ℝ$ над осью времени $ℝ$ (в частности, $Q=ℝ\times M$, если система отсчёта фиксирована). В классической теории поля, все полевые системы являются лагранжевыми.

Лагранжева плотность $L$ (или просто лагранжиан) порядка $r$ определяется как $n$-форма, $n=$dim$X$, на многообразии струй $J^{r}Y$ порядка $r$ сечений расслоения $Y$. Лагранжиан $L$ может быть введён как элемент вариационного бикомплекса дифференциальной градуированной алгебры $O_{\mathrm{\infty }}^{*}(Y)$ внешних форм на многообразиях струй расслоения $Y\to X$. Оператор кограницы этого бикомплекса содержит вариационный оператор $\delta$, который, действуя на $L$, определяет ассоциированный оператор Эйлера — Лагранжа $\delta L$. Относительно координат $(x^{\lambda },y^i)$ на расслоении $Y$ и соответствующих координат $(x^{\lambda },y^i,y_{\mathrm{\Lambda }}^i)$ ($\mathrm{\Lambda }=({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k)$, $|\mathrm{\Lambda }|=k\le r$) на многообразии струй $J^{r}Y$ лагранжиан $L$ и оператор Эйлера — Лагранжа имеют вид:

$L=ℒ(x^{\lambda },y^i,y_{\mathrm{\Lambda }}^i)d^{n}x,$

$\delta L={\delta }_iℒd{y}^i\wedge d^{n}x,{\delta }_iℒ={\partial }_iℒ+\sum _{|\mathrm{\Lambda }|}(-1{)}^{|\mathrm{\Lambda }|}{d}_{\mathrm{\Lambda }}\underset{i}{\overset{\mathrm{\Lambda }}{\partial }}ℒ,$

где

$d_{\mathrm{\Lambda }}=d_{{\lambda }_1}\cdots d_{{\lambda }_k},d_{\lambda }={\partial }_{\lambda }+y_{\lambda }^i{\partial }_i+\cdots ,$

обозначают полные производные. Например, лагранжиан первого порядка и оператор Эйлера — Лагранжа второго порядка принимают форму

$L=ℒ(x^{\lambda },y^i,y_{\lambda }^i)d^{n}x,{\delta }_{i}L={\partial }_iℒ-d_{\lambda }\underset{i}{\overset{\lambda }{\partial }}ℒ.$

Ядро оператора Эйлера — Лагранжа задаёт уравнение Эйлера — Лагранжа $\delta L=0$.

Когомологии вариационного бикомплекса определяют так называемую вариационную формулу

$dL=\delta L+d_H{\mathrm{\Theta }}_L,$

где

$d_H\varphi =d{x}^{\lambda }\wedge d_{\lambda }\varphi ,\varphi \in O_{\mathrm{\infty }}^{*}(Y)$

- полный дифференциал и ${\mathrm{\Theta }}_L$ - эквивалент Лепажа лагранжиана $L$. Первая и вторая теоремы Нётер являются следствиями этой вариационной формулы.

Будучи обобщённым на градуированные многообразия, вариационный бикомплекс описывает градуированные лагранжевы системы четных и нечётных переменных.

В другом варианте лагранжиан, оператор Эйлера — Лагранжа и уравнения Эйлера — Лагранжа вводятся в рамках вариационного исчисления.

См. также

• Лагранжиан
• Вариационное исчисление
• Вариационный бикомплекс
• Уравнение Эйлера — Лагранжа
• Теорема Нётер
• Тождества Нётер
• Калибровочная симметрия (математика)

Литература

• Olver, P. Applications of Lie Groups to Differential Equations, 2ed (Springer, 1993) ISBN 0-387-94007-3
• Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., New Lagrangian and Hamiltonian Methods in Field Theory (World Scientific, 1997) ISBN 981-02-1587-8 (arXiv: 0908.1886)

Ссылки

• Sardanashvily, G., Graded Lagrangian formalism, Int. G. Geom. Methods Mod. Phys. 10 (2013) N5 1350016; arXiv: 1206.2508Шаблон:Недоступная ссылка