Лемма Адамара

Лемма Адамара (Шаблон:Lang-en, Шаблон:Lang-fr) — утверждение, описывающее строение гладкой вещественной функции. Названа в честь французского математика Жака Адамара.

Шаблон:Рамка Пусть $f:{ℝ}^n\to ℝ$ — функция класса $C^r$, где $r⩾1$, определённая в выпуклой окрестности $U$ точки $0$. Тогда существуют такие функции $g_1,\dots ,g_n:{ℝ}^n\to ℝ$ класса $C^{r-1}$, определённые в $U$, что для всех $x=(x_1,\dots ,x_n)\in U$ имеет место равенство

$f(x_1,\dots ,x_n)=f(0)+\sum _{i=1}^n{x}_i{g}_i(x_1,\dots ,x_n),g_i(0)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(0).$

Если функция $f$ — аналитическая, то и функции $g_1,\dots ,g_n$ в приведенной выше формуле аналитические.

Обобщенная формулировка

Лемма Адамара может быть сформулирована в более общей форме, когда часть переменных играет роль параметров:

Шаблон:Рамка Пусть $f(x,y):{ℝ}^n\times {ℝ}^m\to ℝ$ — функция класса $C^r$, где $r⩾1$, определённая в выпуклой окрестности $U$ точки $0$, при этом $x=(x_1,\dots ,x_n)$ и $y=(y_1,\dots ,y_m)$. Тогда существуют такие функции $g_1(x,y),\dots ,g_n(x,y):{ℝ}^n\times {ℝ}^m\to ℝ$ класса $C^{r-1}$, определённые в $U$, что для всех $(x,y)\in U$ имеет место равенство

$f(x,y)=f(0,y)+\sum _{i=1}^n{x}_i{g}_i(x,y),g_i(0,y)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(0,y).$

Доказательство.

Рассмотрим вспомогательную функцию $f(tx,y)=f(t{x}_1,\dots ,t{x}_n,y_1,\dots ,y_m)$, где $t$ — дополнительная вещественная переменная (параметр). Пусть $t$ пробегает значения из отрезка $[0,1]$, тогда функция $f(tx,y)$, рассматриваемая как функция ${ℝ}^{n+m}\to ℝ$ при каждом фиксированном значении параметра $t$, пробегает в пространстве функций от $n+m$ переменных некоторую кривую с концами $f(0,y)$ и $f(x,y)$.

Рассматривая $f(tx,y)$ как функцию переменной $t$, зависящую от параметров $x\in R^n$ и $y\in R^m$, и применяя формулу Ньютона — Лейбница, можно записать:

$f(x,y)-f(0,y)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{df(tx,y)}{dt}dt=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sum _{i=1}^n{x}_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(tx,y)dt=\sum _{i=1}^n{x}_i{g}_i(x,y),$

где

$g_i(x,y):=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\partial f}{\partial x_i}(tx,y)dt.$

Требуемая гладкость функций $g_i(x,y)$ следует из известной теоремы о дифференцировании интеграла, зависящего от параметра, которая доказывается в курсе математического анализа.

Применения

Лемма Адамара позволяет получить ряд полезных следствий, находящих применения в разных разделах математики, в первую очередь, в теории особенностей.

• С помощью леммы Адамара легко доказывается Лемма Морса.
• Другое полезное следствие леммы Адамара (в её обобщённом виде) состоит в том, что если росток гладкой функции $f(x,y_1,\dots ,y_m)$ обращается в нуль на гиперплоскости $x=0$, то он представим в виде $f=xg(x,y_1,\dots ,y_m),$ где $g$ — некоторая гладкая функция.
• Отсюда вытекает, что для ростка любой гладкой функции $f(x,y_1,\dots ,y_m)$ имеет место представление $f=f_0(y_1,\dots ,y_m)+xg(x,y_1,\dots ,y_m),$ где $f_0=f(0,y_1,\dots ,y_m)$ и $g$ — гладкие функции.
• Применяя индукцию, отсюда нетрудно получить также более общее представление:

$f=f_0(y_1,\dots ,y_m)+x{f}_1(y_1,\dots ,y_m)+\dots +x^n{f}_n(y_1,\dots ,y_m)+x^{n+1}g(x,y_1,\dots ,y_m),$

где $f_i(y_1,\dots ,y_m)$ и $g$ — гладкие функции и $n$ — произвольное натуральное число.

См. также

• Формула Тейлора
• Лемма Морса

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга