Лемма Морса

Лемма Морса — утверждение, описывающее поведение гладкой или аналитической вещественной функции в окрестности невырожденной критической точки. Один из простых, но важнейших результатов теории Морса; названа по имени разработчика теории и установившего данный результат в 1925 году американского математика Марстона Морса.

Формулировка

Пусть $f:{ℝ}^n\to ℝ$ — функция класса $C^{r+2}$, где $r\ge 1$, имеющая точку $0\in {ℝ}^n$ своей невырожденной критической точкой, то есть в этой точке дифференциал $\frac{\partial f}{\partial x}$ обращается в нуль, а гессиан $\left|\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}\right|$ отличен от нуля. Тогда в некоторой окрестности $U$ точки $0$ существует такая система $C^r$-гладких локальных координат (карта) $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ с началом в точке $0$, что для всех $x\in U$ имеет место равенство

$f(x)=f(0)-x_1^2-\dots -x_k^2+x_{k+1}^2+\dots +x_n^2$.

При этом число $k$, определяемое сигнатурой квадратичной части ростка $f$ в точке $0$, называется индексом критической точки $0$ данной функции — частный случай общего понятия индекс Морса.

Вариации и обобщения

Теорема Тужрона

В окрестности критической точки $0$ конечной кратности $\mu$ существует система координат, в которой гладкая функция $f(x)$ имеет вид многочлена $P_{\mu +1}(x)$ степени $\mu +1$ (в качестве $P_{\mu +1}(x)$ можно взять многочлен Тейлора функции $f(x)$ в точке $0$ в исходных координатах). В случае невырожденной критической точки кратность $\mu =1$, и теорема Тужрона превращается в лемму Морса.

Лемма Морса с параметрами

Пусть $f(x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_m):{ℝ}^{n+m}\to ℝ$ — гладкая функция, имеющая начало координат $0$ своей критической точкой, невырожденной по переменным $x_1,\dots ,x_n$. Тогда в окрестности точки $0$ существуют гладкие координаты, в которых

$f(x,y)={\alpha }_1{x}_1^2+\cdots +{\alpha }_n{x}_n^2+f_0(y_1,\dots ,y_m),{\alpha }_i=\pm 1,$

где $f_0$ — некоторая гладкая функция. Это утверждение позволяет свести исследование особенности (критической точки) функции от $n+m$ переменных к исследованию особенности функции от меньшего числа переменных (а именно, от числа переменных, равного корангу гессиана исходной функции).

Доказательство этого утверждения может быть проведено индукцией по n с использованием леммы Адамара или другим способом.

О доказательствах

Обычно доказывается прямым построением диффеоморфизма. Более концептуальное доказательство использует трюк Мозера.

Литература

• Шаблон:Книга

• Даринский Б. М., Сапронов Ю. И., Царёв С. Л. Бифуркация экстремалей фредгольмовых функционалов, — СМФН, 12, М., 2004, стр. 3-140.

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга

• Takens F. A note on sufficiency of jets. — Inventiones Mathematicae, vol. 13, no 3, 1971, pp. 225—231.

• Шаблон:Книга