Трюк Мозера

Трюк Мозера — рассуждение, позволяющее свести задачу о нахождении диффеоморфизма гладкого многообразия в себя к нахождению векторного поля на многообразии. Вторая задача обычно легче первой. Нужный диффеоморфизм задаётся потоком вдоль этого поля.

Это же рассуждение применимо в доказательстве теоремы Дарбу, лемме Морса и многих других результатах дифференциальной геометрии. Назван в честь Юргена Мозера, который использовал это рассуждение в доказательстве результата приведённого ниже.

Теорема Мозера

Формулировка. Пусть ${\omega }_0$ и ${\omega }_1$ — две $n$-формы на замкнутом связном гладком ориентированном многообразии $M$. Предположим, что они нигде не обнуляются и

$\underset{M}{\int }{\omega }_0=\underset{M}{\int }{\omega }_1.$

Тогда существует диффеоморфизм $\phi :M\to M$ такой, что ${\omega }_0={\phi }^{*}{\omega }_1$.

Идея доказательства. Сначала доказывается, что разница ${\omega }_1-{\omega }_0$ замкнута, то есть существует такая $(n-1)$-форма $\alpha$, что $d\alpha ={\omega }_1-{\omega }_0$. Далее определим форму ${\omega }_t=t\cdot {\omega }_1+(1-t)\cdot {\omega }_0$. Воспользовавшись волшебной формулой Картана, находим такое поле $V_t$ на $M$, что ${ℒ}_{V_t}{\omega }_t+{\omega }_1-{\omega }_0=0$. После этого диффеоморфизм $\phi :M\to M$ определается как поток векторного поля $V_t$ на интервале $[0,1]$.

Поскольку решение обыкновенного дифференциального уравнения гладко зависит от начальных данных поток является гладким отображением, как и обратное к нему отображение. Это облегчает проверку того, что полученное отображение является диффеоморфизмом.