Теорема Дарбу

Шаблон:О Теорема Дарбу — утверждение о том, что для любой симплектической структуры, заданной на многообразии $M^{2n}$, у любой точки в $M^{2n}$ существует открытая окрестность и локальные координаты $q_1,...,q_n,p_1,...,p_n$ в ней, в которых симплектическая форма $\omega$ принимает канонический вид $\sum _{j}d{p}_j\wedge d{q}_j$.

Формулировка

Пусть $\omega$ — симплектическая структура на $M^{2n}$. Тогда для любой точки $x\in M^{2n}$ всегда существует окрестность с такими локальными регулярными координатами $q_1,...,q_n,p_1,...,p_n$, в которых форма $\omega$ записывается в простейшем каноническом виде, а именно:

$\omega =\sum _{i}d{p}_i\wedge d{q}_i$,

то есть в каждой точке этой окрестности матрица $\left({\omega }_{ij}\right)$ принимает блочный вид

$\left(\begin{array}{cc}\mathrm{𝟘}& 𝔼\\ -𝔼& \mathrm{𝟘}\end{array}\right)$,

где $\mathrm{𝟘}$ и $𝔼$ — соответственно нулевая и единичная $n\times n$-матрицы. Совокупность $2n$ координат $(q,p)$ называют каноническими координатами, или координатами Дарбу, а наборы из $n$ координат $q$ и $p$ — канонически сопряжёнными друг другу.

Доказательство

В современном доказательстве теоремы Дарбу используется так называемый трюк Мозера. Особенно нагляден он на замкнутых симплектических многообразиях. Именно, пусть ${\omega }_0,{\omega }_1$ — две симплектические формы на многообразии $X$, принадлежащие одному классу когомологий де Рама. Тогда (например, рассматривая их линейные комбинации: конус невырожденных форм выпуклый) их можно связать однопараметрическим семейством симплектических форм ${\omega }_t$, $t\in [0;1]$ таких, что класс когомологий их один и тот же. Стало быть, по определению когомологий де Рама, имеем право написать $\frac{\partial {\omega }_t}{\partial t}=d{\eta }_t$, где ${\eta }_t$ — некоторая 1-форма. Пусть $v_t$ — векторное поле такое, что ${\iota }_{v_t}{\omega }_t={\eta }_t$ (такое существует в силу невырожденности всех форм ${\omega }_t$).

Скомпонуем эти два семейства, а именно векторных полей и 2-форм, в единое векторное поле $V$, определённое на многообразии с краем $X\times [0;1]$ как $V_{(x,t)}=\frac{\partial }{\partial t}-(v_t{)}_x$, и единую 2-форму $\mathrm{\Omega }$, ограничивающуюся на всякое подмногообразие $X_t=X\times \{t\}$ как ${\omega }_t$ (мы неявно отождествляем $X_t$ с $X$ путём забывания временной координаты, и без того постоянной на $X_t$) и зануляющуюся при подстановке в неё векторного поля $\frac{\partial }{\partial t}$. Заметим, что форма $\mathrm{\Omega }$ вообще говоря не замкнута как форма на $X\times [0;1]$: выписывая явную формулу для дифференциала де Рама, легко видеть равенство ${\iota }_{\frac{\partial }{\partial t}}d\mathrm{\Omega }=\frac{\partial {\omega }_t}{\partial t}$ (им, вкупе с тождественным занулением вдоль подмногообразий $X_t$, 3-форма $d\mathrm{\Omega }$ определяется однозначно).

Итак, применим формулу Картана: ${\left({\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{e}}_V\mathrm{\Omega }\right)}_t={(d{\iota }_V\mathrm{\Omega }+{\iota }_{V}d\mathrm{\Omega })}_t=\frac{\partial {\omega }_t}{\partial t}-d{\iota }_{v_t}{\omega }_t=d{\eta }_t-d{\eta }_t=0$. Следовательно, поток векторного поля $V$ сохраняет форму $\mathrm{\Omega }$. В то же время, его поток переводит подмногообразия $X_t$ друг в друга. Следовательно, определяемое им отображение Коши $X_0\to X_1$, сопоставляющее начальной точки интегральной кривой её конечную точку, переводит ограничение формы $\mathrm{\Omega }$ в ограничение формы $\mathrm{\Omega }$, то есть определяет диффеоморфизм $X$, переводящий ${\omega }_0$ в ${\omega }_1$.

В частности, когда многообразие $X$ двумерно, симплектическая форма есть то же самое, что форма площади, так что соответствующий класс когомологий определяется единственным числом — своим интегралом по фундаментальному циклу, иначе говоря, площадь поверхности. Таким образом, класс симплектоморфизма симплектической поверхности определяется однозначно её родом и площадью. Этот факт был известен, кажется, ещё Пуанкаре.

Доказательство для открытой области (то есть оригинального утверждения теоремы Дарбу) несколько более муторно, хотя и не требует иных существенных идей, и есть в книгеШаблон:Sfn.

Вариации и обобщения

Вариант теоремы Дарбу для лагранжевых подмногообразий принадлежит Вайнштейну. Именно, на тотальном пространстве кокасательного расслоения ко всякому многообразию имеется каноническая симплектическая структура. С другой стороны, если $(X,\omega )$ — симплектическое многообразие, и $Y\subset X$ — лагранжево подмногообразие (то есть подмногообразие половинной размерности такое, что $\omega {|}_Y\equiv 0$), то имеется изоморфизм касательного и конормального расслоений к $Y$: касательный вектор $v$ отправляется в функционал ${\iota }_v\omega$, зануляющийся на $TY$ и потому определённый на нормальном пространстве $TX/TY$; в силу невырожденности формы $\omega$ так получается всякий функционал на нормальном пространстве. Дуализируя, можно воспринимать это отображение как отображение из кокасательного расслоения в нормальное. Теорема Дарбу — Вайнштейна утверждает, что это отображение может быть проинтегрировано до настоящего отображения $U\to X$, где $U$ — некоторая трубчатая окрестность нулевого сечения кокасательного расслоения $T^{*}Y$, притом такого, что на $Y$ оно постоянно, а симплектическую форму на $U\subset T^{*}Y$ переводит в симплектическую форму на $X$. В частности, графики замкнутых 1-форм будут при таком отображении переходить в лагранжевы подмногообразия в $X$, близкие к $Y$.

Нечётномерный аналог теоремы Дарбу для контактных многообразий приндалежит Грею.

В сущности, теорема Дарбу означает, что никаких локальных инвариантов у симплектическим многообразий нет, что при их изучении смещает фокус в сторону топологии. Некоторым сходством обладают комплексные структуры: для всякого оператора почти комплексной структуры $I:TX\to TX$ (то есть такого, что $I^2=-{\mathrm{I}\mathrm{d}}_{TX}$), удовлетворяющего условию интегрируемости (то есть тому, что мнимые векторные поля, собственные с собственным числом $\sqrt{-1}$ для оператора $I$, при коммутировании дают поле, также являющимся собственным для $I$ с собственным числом $\sqrt{-1}$), существует комплексная карта, то есть локальное голоморфное отображение в область в ${ℂ}^n$. Это утверждение составляет теорему Ньюлендера — Ниренберга, доказательство которой существенно более сложно. Пример ситуации, когда теорема Дарбу неверна, дают римановы многообразия: для локальной изометрии две метрики должны иметь одинаковые тензоры римановой кривизны. Вместе с тем, римановы метрики проще в том смысле, что для них условие «интегрируемости» (аналогичное вышеприведённому условию для почти комплексной структуры или условию $d\omega =0$ для невырожденной 2-формы) всегда автоматически выполнено: для почти симплектической и почти комплексной структуры условие интегрируемости равносильно существованию линейной связности без кручения, относительно которой эти тензоры параллельны, в то время как для римановой метрики такая связность существует и притом единственна.

Для голоморфно симплектических многообразий аналог теоремы Дарбу-Вайнштейна также не может существовать, притом по существенным причинам. Например, рассмотрим K3-поверхность $X$ с неизотривиальным эллиптическим расслоением (то есть расслоением, общий слой которого гладок, и в окрестности всякого неособого слоя все слои — попарно неизоморфные эллиптические кривые), и $E$ — один из слоёв этого расслоения. Голоморфное кокасательное расслоение к эллиптической кривой тривиально, и графики замкнутых 1-форм, то есть его постоянных сечений, являются эллиптическими кривыми, биголоморфными данной. С другой стороны, как было замечено Хитчиным, голоморфно симплектическая форма, если на неё смотреть как на 2-форму с комплексными коэффициентами, позволяет восстановить комплексную структуру на многообразии однозначно. Если бы существовало отображение $U\to X$, где $U\subset T^{*}E$ — окрестность нулевого сечения, которое переводит голоморфно симплектическую форму на $T^{*}E$ в голоморфно симплектическую форму на $X$, то оно было бы само голоморфным, и переводило близкие к $E\subset U$ кривые в близкие к $E\subset X$ кривые, притом биголоморфные $E$. Но из формулы присоединения видно, что все деформации эллиптической кривой на K3-поверхности образуют однопараметрическое семейство, и принадлежат к одному и тому же эллиптическому расслоению. Стало быть, если расслоение не изотривиально, то такого отображения не может существовать. Для голоморфных $ℂ{𝐏}^n$ в голоморфно симплектических многообразиях (например, рациональных кривых на K3-поверхностях) аналог теоремы Дарбу-Вайнштейна всё же имеется, но в его доказательстве ключевыми являются не геометрические соображения типа трюка Мозера, а теория особенностей или даже теория представлений: так, при сдутии рациональной кривой на К3-поверхности образуется особенность типа A₁, она же фактор ${ℂ}^2/\{\pm 1\}$, она же особенность у нильпотентного конуса алгебры Ли $𝔰𝔩(2,ℂ)$; а все такие особенности эквивалентны с точностью до аналитического изоморфизма, что даёт изоморфизм для окрестности кривой перед сдутием. Для кривых же большего рода верно в точности противоположное: знание сколь угодно малой окрестности кривой позволяет восстановить поверхность (или, по крайней мере, поле мероморфных функций на ней) однозначно. В принципе, измерять то, насколько окрестность комплексного подмногообразия не допускает изоморфизма с окрестностью нулевого сечения своего нормального расслоения, можно было бы измерять при помощи инварианта, похожего на класс Уэды; но он имеется только для подмногообразий коразмерности один, то есть, если речь идёт о лагранжевых подмногообразиях, кривых на поверхностях. В случае эллиптических кривых на комплексных поверхностях, нормальное расслоение к которым топологически тривиально, критерий наличия локального биголоморфизма с кокасательным расслоением даётся так называемой теоремой Арнольда о малых знаменателях: если $L$ — нормальное расслоение эллиптической кривой $E$, лежащей на комплексной поверхности $X$, то $X$ вдоль $E$ локально биголоморфна окрестности нулевого сечения $L$ в том и только том случае, если для любой инвариантной метрики $\rho$ на группе Пикара $\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}(E)$ функция $-\ln \rho ({𝒪}_E,L^{\otimes n})$ имеет асимптотику $O(\ln n)$ (такое же условие на рост знаменателей подходящих дробей к числу является необходимым для того, чтобы это число могло быть алгебраическим, откуда и название теоремы; любопытно, что нарушение схожего условия на отношение периодов обращения небесных тел делает обращение по некоторым орбитам маловероятным, что порождает щели Кирквуда и деление Кассини, см. подробнее в статье «Орбитальный резонанс»). Вместе с тем, в больших размерностях эта наука далека от полного завершения: так, гипотеза Мацушиты, утверждающая, что лагранжево расслоение на гиперкэлеровом многообразии либо изотривиально, либо его слои (которые всегда являются абелевыми многообразиями — это нетрудная теорема) составляют семейство полной размерности в пространстве модулей абелевых многообразий, до сих пор не доказана (хотя в 2015 году существенное продвижение в данном вопросе было получено ван Геменом и Вуазен).

То, что надежды на существование теоремы Дарбу-Вайнштейна для голоморфно симплектических многообразий нету, можно показать иначе. Именно, на окрестности нулевого сечения имеется голоморфное действие группы $\mathrm{U}(1)$, которое умножает кокасательные вектора на комплексные числа, равные по модулю единице. В вышеприведённом примере неизотривиальной эллиптической К3-поверхности такое локальное действие невозможно, потому что все его слои в любой окрестности попарно не биголоморфны. В некотором смысле, это соображение есть единственное препятствие к существованию аналога теоремы Дарбу-Вайнштейна для голоморфно симплектических многообразий. Во всяком случае, следующая теорема содержится в мемуаре Каледина, представленном им в Триесте в 1994 году:

Шаблон:Рамка Пусть $X$ — голоморфно симплектическое многообразие, снабжённое регулярным голоморфным действием группы $\mathrm{U}(1)$ таким, что элемент $z\in \mathrm{U}(1)$ умножает голоморфно симплектическую форму на число $z\in ℂ$. Тогда существует открытая окрестность $U\subset X$ множества неподвижных точек этого действия $Y=X^{\mathrm{U}(1)}\subset X$ и каноническое отображение $U\to T^{*}Y$ такое, что гиперкэлерова метрика на $U$ индуцируется посредством этого отображения с канонической гиперкэлеровой структуры на $T^{*}Y$. Шаблон:Конец рамки

Им же доказана версия этого утверждения для более общих гиперкомплексных многообразий.

Литература

• Шаблон:Книга