Лемма Гензеля

Лемма Гензеля — результат в модульной арифметике, утверждающий, что если алгебраическое уравнение имеет простой корень по модулю простого числа $p$, то данному корню однозначно соответствует корень того же уравнения, взятого по модулю $p^k$, который может быть найден итеративным подъёмом по степеням $p$. Названа в честь Курта Гензеля. В более общем случае, лемма Гензеля также используется как обоснование для аналогов метода Ньютона в полных коммутативных кольцах (в частности, в p-адических числах).

Формулировка

Существует множество эквивалентных формулировок леммы Гензеля.

Общая формулировка

Пусть $K$ — поле, полное относительно дискретного нормирования $v$, а ${𝒪}_K$ — кольцо целых поля $K$ (то есть, элементов с неотрицательным нормированием). Пусть $\pi \in K$ — некоторый элемент $K$, такой что $v(\pi )=1$, обозначим соответствующее ему Шаблон:Не переведено 5 как $k={𝒪}_K/\pi$. Пусть $f(X)\in {𝒪}_K[X]$ — некоторый многочлен с коэффициентами из ${𝒪}_K$. Если у редуцированного многочлена $\bar{f}(X)\in k[X]$ есть простой корень (то есть, существует $k_0\in k$ такой что $\bar{f}(k_0)=0$ и $\overline{f^{\prime }}(k_0)\ne 0$), то существует единственный $a\in {𝒪}_K$, такой что $f(a)=0$ и $\bar{a}=k_0$.

Альтернативная формулировка

В менее общем виде лемма формулируется следующим образом: пусть $f(x)$ — многочлен с целыми (или p-адическими целыми) коэффициентами. Пусть также $m$ и $k$ — целые числа, такие что $0<m\le k$. Если $r$ — целое число, такое что

$f(r)\equiv 0(\mathrm{mod}{p}^k)\text{и}{f}^{\prime }(r)\equiv ̸0(\mathrm{mod}p),$

то существует целое число $s$, такое что

$f(s)\equiv 0(\mathrm{mod}{p}^{k+m})\text{и}r\equiv s(\mathrm{mod}{p}^k).$

Более того, число $s$ определено однозначно по модулю $p^{k+m}$ и может быть выражено в явном виде как

$s=r-f(r)\cdot a,$

где $a$ — целое число, такое что

$a\equiv [f^{\prime }(r){]}^{-1}(\mathrm{mod}{p}^m).$

Следует заметить, что, в силу $f(r)\equiv 0(\mathrm{mod}{p}^k)$, также выполнено условие $s\equiv r(\mathrm{mod}{p}^k)$.

Пример

Рассмотрим уравнение $x^2\equiv x(\mathrm{mod}10^k)$, определяющее автоморфные числа длины $k$ в десятичной системе счисления. Его можно рассматривать в виде эквивалентной системы двух уравнений по модулю степеней простых чисел:

$\{\begin{array}{c}{x}^2\equiv x(\mathrm{mod}{2}^k),\\ x^2\equiv x(\mathrm{mod}{5}^k)\end{array}$

При $k=1$ решениями уравнения являются числа, заканчивающиеся на $0$, $1$, $5$ или $6$. Чтобы получить решения для больших $k$, можно воспользоваться леммой Гензеля, считая, что $f(x)=x^2-x$.

По приведённым выше формулам, переход от $p^k$ к $p^{k+m}$ для $m\le k$ будет иметь следующий вид:

$s=r-(r^2-r)\cdot (2r-1{)}^{-1}=\frac{r^2}{2r-1}(\mathrm{mod}{p}^{k+m}).$

См. также

• Теорема Минковского — Хассе

Литература

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation