Лемма о руке

Лемма о руке — лемма в доказательстве теоремы Коши о многогранниках.

Неформально утверждение можно описать следующим образом: Представьте себе руку робота, состоящую из нескольких звеньев, соединённых суставами. Каждое звено — это отрезок, а вся рука — ломаная. Пусть вся рука робота может двигаться в одной плоскости. Предположим, в изначальном состоянии рука робота образует выпуклую ломаную, то есть такую ломаную, что если мы соединим концы ломаной, то получим выпуклый многоугольник. Допустим теперь, что робот увеличивает угол в каждом суставе. Лемма утверждает, что тогда увеличится и расстояние между началом и концом руки.

Несмотря на простоту формулировки, доказательство леммы не просто. В частности, именно в этом месте оригинальное доказательство Коши имеет ошибку. Эта ошибка оставалась незамеченной более ста лет. Она была замечена Эрнстом Штейницем, видимо, между 1920 и 1928 годами и исправлена только в 1934.

Формулировка

Предположим, $A_1{A}_2\dots A_n$ выпуклый многоугольник на евкидовой плоскости и $B_1{B}_2\dots B_n$ ломаная в плоскости или пространстве такая, что

• $A_i{A}_{i+1}=B_i{B}_{i+1}$ при $i<n$,
• $\measuredangle A_{i-1}{A}_i{A}_{i+1}\le \measuredangle B_{i-1}{B}_i{B}_{i+1}$ при $1<i<n$.

Тогда

$A_1{A}_n\le B_1{B}_n.$

Более того, в случае равенства ломаные $A_1{A}_2\dots A_n$ и $B_1{B}_2\dots B_n$ конгруэнтны.

Вариации и обобщения

• Аналогичный результат верен на сфере и плоскости Лобачевского.
  • Более того, лемма естественно обобщается на CAT(κ) пространства.

• Теорема Залгаллера. Если у двух сферических $n$-гольников $A$ и $B$ соответственные стороны равны и многоугольник $A$ лежит в полусфере, то хотя бы один из углов $B$ не меньше соответственного угла $A$.

• Лемма о согнутом луке — версия леммы о руке для гладких кривых:
  • Пусть $\gamma$ и $\tilde{\gamma }$ — пара гладких кривых пареметризованных длиной определённых на одном и том же интервале $[a,b]$. Предположим, что для любого $t$ выполняется неравенство ${\kappa }_{\gamma }(t)\le {\kappa }_{\tilde{\gamma }}(t)$, где ${\kappa }_{\gamma }(t)$ и ${\kappa }_{\tilde{\gamma }}(t)$ обозначает кривизну $\gamma$ и соответственно $\tilde{\gamma }$ при $t$. Далее предположим, что $\tilde{\gamma }$ есть дуга плоской выпуклой кривой, то есть она проходит вдоль границы некоторой выпуклой плоской фигуры. Тогда расстояние между концами $\gamma$ не превосходит расстояния между концаму $\tilde{\gamma }$; то есть,

    $|\gamma (b)-\gamma (a)|\ge |\tilde{\gamma }(b)-\tilde{\gamma }(a)|.$

Лемма верна если $\gamma$ есть кривая в евклидовом пространстве произвольной размерности. Иногда называется леммой Шура в честь Акселя Шура, доказавшего её частный случай. В полной общности лемма была доказана Эрхардом Шмидтом.

См. также

• Лемма Александрова
• Теорема Решетняка о мажоризации

Литература

• И. Х. Сабитов, Вокруг доказательства леммы Лежандра — Коши о выпуклых многоугольниках Сиб. матем. журн., 2004, том 45, № 4, с. 892—919
• Лекция 24 в Шаблон:Книга