Ленточный узел

Прямой узел, представленный в виде ленточного узла

В теории узлов ленточный узел — это узел, который ограничивает самопересекающийся круг только с ленточными особенностями. Интуитивно, этот вид особенности может быть образован путём совершения разреза в круге и пропусканием другой части круга через разрез. Более формально, этот тип особенности заключается в самопересечении по дуге. Прообраз этой дуги состоит из двух дуг круга, одна из которых полностью лежит внутри круга, а концы другой находятся на краю круга.

Теория Морса

Секущий круг M — это гладкое вложение $D^2$ в $D^4$ с $M\cap \partial D^4=\partial M\subset S^3$. Рассматривая функцию $f:D^4\to ℝ$, заданную формулой $f(x,y,z,w)=x^2+y^2+z^2+w^2$, путём небольшой изотопии M можно добиться, чтобы f была функцией Морса на M. Можно сказать, что $\partial M\subset \partial D^4=S^3$ является ленточным узлом, если $f_{|M}:M\to ℝ$ не имеет внутреннего локального максимума.

Гипотеза о срезанной ленте

Известно, что любая лента является срезанным узлом. Известная открытая проблема, поставленная Шаблон:Нп5 и известная как гипотеза о срезанной ленте, ставит обратный вопрос: является ли каждый срезанный узел лентой?

ЛискаШаблон:Sfn показал, что гипотеза верна для узлов с Шаблон:Не переведено 5 два. Грин и ЯбукаШаблон:Sfn показали, что это верно для трёхнитевых кружевных зацеплений. Однако Гомпф, Шарлеман и Томпсон Шаблон:Sfn предположили, что гипотеза может быть и не верна и предложили семейства узлов, которые могут стать контрпримерами.

Литература

• Шаблон:Книга. Переиздано в Dover Books, 2010.
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья