Кружевное зацепление

Шаблон:Не переведено 5 имеет две правосторонние скрутки в первом Шаблон:Не переведено 5, три левосторонние скрутки во втором и семь левосторонних скруток в третьем.

В теории узлов кружевное зацепление (или крендельное зацепление) — это специальный вид зацепления. Кружевное зацепление, являющееся также узлом (то есть зацеплением с одной компонентой), называется кружевным узлом, крендельным узлом или просто кренделем.

В стандартной проекции кружевное зацепление $(p_1,p_2,\dots ,p_n)$ имеет $p_1$ левосторонних скруток в первом Шаблон:Не переведено 5, $p_2$ во втором и, в общем случае, $p_n$ в n-ом.

Кружевное зацепление можно описать как Шаблон:Не переведено 5 с целым числом переплетений.

Некоторые базовые результаты

Кружевное зацепление $(p_1,p_2,\dots ,p_n)$ является узлом тогда и только тогда, когда и $n$, и все $p_i$ являются нечётными или в точности одно из чисел $p_i$ чётно Шаблон:Sfn.

Кружевное зацепление $(p_1,p_2,\dots ,p_n)$ является Шаблон:Не переведено 5, если по меньшей мере два $p_i$ равны нулю. Однако обратное неверно.

Кружевное зацепление $(-p_1,-p_2,\dots ,-p_n)$ является отражением кружевного зацепления $(p_1,p_2,\dots ,p_n)$.

Кружевное зацепление $(p_1,p_2,\dots ,p_n)$ эквивалентно (то есть гомотопически эквивалентно на S³) кружевному зацеплению $(p_2,p_3,\dots ,p_n,p_1)$. Тогда, также, кружевное зацепление $(p_1,p_2,\dots ,p_n)$ эквивалентно кружевному зацеплению $(p_k,p_{k+1},\dots ,p_n,p_1,p_2,\dots ,p_{k-1})$Шаблон:Sfn.

Кружевное зацепление $(p_1,p_2,\dots ,p_n)$ эквивалентно кружевному зацеплению $(p_n,p_{n-1},\dots ,p_2,p_1)$. Однако если ориентировать зацепление в каноническом виде, эти два зацепления имеют противоположную ориентацию.

Примеры

Трилистник

Кружевной узел (1, 1, 1) — это (правосторонний) трилистник, а узел (−1, −1, −1) является его зеркальным отражением.

Стивидорный
узел

Кружевной узел (5, −1, −1) — это стивидорный узел (6₁).

Если p, q и r являются различными нечётными числами, большими 1, то кружевной узел (p, q, r) является необратимым.

Кружевное зацепление (2p, 2q, 2r) — это зацепление, образованное тремя связанными тривиальными узлами.

Прямой узел

Кружевной узел (−3, 0, −3) (прямой узел) является связной суммой двух трилистников.

Кружевное зацепление (0, q, 0)) — это Шаблон:Не переведено 5 тривиального узла с другим узлом.

Зацепление Монтесиноса

Зацепление Монтесиноса. В этом примере $e=-3$ , ${\alpha }_1/{\beta }_1=-3/2$ и ${\alpha }_2/{\beta }_2=5/2$.

Зацепление Монтесиноса — это специальный вид зацепления, обобщающее кружевные зацепления (кружевное зацепление можно считать зацеплением Монтесиноса с целыми переплетениями). Зацепление Монтесиноса, являющееся также узлом (то есть, зацепление с одной компонентой) является узлом Монтесиноса.

Зацепление Монтесиноса состоит из нескольких Шаблон:Не переведено 5. Одним из обозначений зацепления Монтесиноса является $K(e;{\alpha }_1/{\beta }_1,{\alpha }_2/{\beta }_2,\dots ,{\alpha }_n/{\beta }_n)$ Шаблон:Sfn.

В этих обозначениях $e$ и все ${\alpha }_i$ и ${\beta }_i$ являются целыми числами. Зацепление Монтесиноса, заданное таким обозначением, состоит из Шаблон:Не переведено 5 рациональных плетений, заданных целым числом $e$, и рациональных плетений ${\alpha }_1/{\beta }_1,{\alpha }_2/{\beta }_2,\dots ,{\alpha }_n/{\beta }_n$

Использование

Съедобный кружевной узел (−2,3,7)

Кружевные зацепления (−2, 3, 2n + 1) особенно полезны при изучении 3-многообразий. В частности, для этих многообразий многие результаты были установлены на основе Шаблон:Не переведено 5 на Шаблон:Не переведено 5.

Гиперболический объём дополнения кружевного зацепления Шаблон:Math равен учетверённой постоянной Каталана, примерно Шаблон:Num. Это кружевное зацепление является одним из двух гиперболических многообразий с двумя каспами с минимальными возможными объёмами, второе многообразие является дополнением зацепления УайтхедаШаблон:Ref.

Литература

• Шаблон:Статья

Литература для дальнейшего чтения

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга