Линейная интерполяция

Через две заданные красные точки принадлежащие интерполируемой функции проведена синяя линия — график интерполирующей функции (линейный интерполянт), значение $y$ в произвольной точке $x,$ принадлежащей отрезку, можно найти с помощью формулы линейной интерполяции

Лине́йная интерполя́ция — интерполяция алгебраическим двучленом $P_1(x)=ax+b$ функции $f(x),$ заданной в двух точках $x_0$ и $x_1$ отрезка $[a,b]$.

В случае, если заданы значения в нескольких точках, функция заменяется кусочно-линейной функцией.

Формула линейной интерполяции является частным случаем интерполяционной формулы Лагранжа и интерполяционной формулы Ньютона.

Геометрическая интерпретация

Геометрически это означает замену графика функции $f(x)$ прямой, проходящей через точки $[x_0,f(x_0)]$ и $[x_1,f(x_1)]$.

Уравнение такой прямой имеет вид:

$\frac{y-f(x_0)}{f(x_1)-f(x_0)}=\frac{x-x_0}{x_1-x_0},$

отсюда для $x\in [x_0,x_1]:$

$f(x)\approx y=P_1(x)=$

$=f(x_0)+\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}(x-x_0).$

Это и есть формула линейной интерполяции, при этом:

$f(x)=P_1(x)+R_1(x),$

где $R_1(x)$ — погрешность формулы линейной интерполяции.

Если интерполируемая функция $f(x)$ имеет непрерывную вторую производную на отрезке интерполяции, то:

$R_1(x)=\frac{f^{″}(\psi )}{2}(x-x_0)(x-x_1),\psi \in [x_0,x_1]$

При этом, исходя из теоремы Ролля, справедлива оценка ошибки интерполяции:

$|R_1(x)|⩽\frac{M_2}{2}\max |(x-x_0)(x-x_1)|=\frac{M_2{h}^2}{8};$

$M_2=\underset{[x_0,x_1]}{\max }|f^{″}(x)|;h=x_1-x_0.$

Применение

На графике — пример кусочно-линейной интерполяции — график заданной функции приближённо представлен в виде ломаной линии

Линейная интерполяция применяется для сокращения размера таблиц таблично заданных функций, при этом значения функции заданы в сокращённом количестве точек, а её значения в точках, отсутствующих в таблице, вычисляются по формуле линейной интерполяции.

Другой пример применения линейной интерполяции — приближенное представление данных в виде кусочно-линейной функции.

См. также

• Билинейная интерполяция
• Интерполяция алгебраическими многочленами
• Обратная матрица