Линейно-квадратичное гауссовское управление

Линейно-квадратичное гауссовское управление (Шаблон:Lang-en) — набор методов и математического аппарата теории управления для синтеза систем управления с отрицательной обратной связью для линейных систем с аддитивным гауссовским шумом. Синтез проводится путём минимизации заданного квадратичного функционала.

Обзор

Линейно-квадратичное гауссовское (ЛКГ) управление относится к современным методам управления. Методология синтеза контроллера позволяет отнести системы управления, построенные на таком принципе, к оптимальным системам, в которых оптимизация проводится по некоторому заданному квадратичному критерию качества. Также эта теория принимает в расчёт присутствие возмущений в виде гауссова белого шума. Однако несмотря на то, что синтез ЛКГ-контроллеров предусматривает систематическую процедуру расчёта для оптимизации качества системы, главным его недостатком является то, что в рассмотрение не принимается робастность системы. Поэтому ЛКГ-синтез проводится только для систем, имеющих надёжную и точную линейную динамическую модель. Для повышения робастности системы управления применяют более сложные алгоритмы, такие как минимаксный ЛКГ синтез, или комбинированный ЛКГ/H∞ синтез. ЛКГ контроллеры могут использоваться как для дискретных, так и для непрерывных систем.

ЛКГ-синтез

В процессе ЛКГ-синтеза получается оптимальный регулятор $F(s)$ для некоторого объекта управления $G(s)$.

Представим модель системы в пространстве состояний:

$\dot{𝐱}(t)=A𝐱(t)+B𝐮(t)+\mathit{\xi }(t)$

$𝐲(t)=C𝐱(t)+D𝐮(t)+\mathit{\theta }(t)$,

где

$x(\cdot )$ — вектор состояния, элементы которого называются состояниями системы,

$y(\cdot )$ — вектор выхода,

$u(\cdot )$ — вектор управления,

$\xi (\cdot )$ — возмущения, действующие на объект управления,

$\theta (\cdot )$ — шум измерения (датчики, АЦП и т. п.),

$A$ — матрица системы,

$B$ — матрица управления,

$C$ — матрица выхода,

$D$ — матрица прямой связи.

Шум объекта управления и шум измерения считаются белыми с гауссовым распределением.

Тогда задача синтеза ЛКГ-регулятора будет заключаться в минимизации некоторого функционала качества, который задаётся в виде:

$𝒥=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }E\underset{0}{\overset{t}{\int }}[x^T(t)Rx(t)+u^T(t)Qu(t)]dt$

Матрицы $R$ и $Q$ представляют собой параметры функционала качества и являются положительно-определёнными матрицами.

Описанная выше методология подходит также для синтеза ЛКГ-оптимальных регуляторов и для дискретных систем. Функционал качества в этом случае задаётся соотношением:

$𝒥=E\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}[x^T(k)Rx(k)+u^T(k)Qu(k)]$

Функционал качества минимизируется стандартными методами теории оптимального управления. Получившийся в результате регулятор будет ЛКГ-оптимальным регулятором.

См. также

• Линейно-квадратичный регулятор

Литература

• Бахилина И. М., Степанов С. А. Синтез грубых линейных квадратичных гауссовских регуляторов//Автоматика и телемеханика. — 1998. — № 7. — С.96-106.
• Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 3-х томах. Т.3: Методы современной теории автоматического управления / Под ред. Н. Д. Егупова. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. — 748с.
• M. Athans. «The Role and Use of the Stochastic Linear-Quadratic-Gaussian Problem in Control System Design», IEEE Trans. Automat. Contr., AC-16, pp. 529—552, Dec. 1971.