Логистическая регрессия

Логистическая регрессия или логит-модель (Шаблон:Lang-en) — статистическая модель, используемая для прогнозирования вероятности возникновения некоторого события путём его сравнения с логистической кривой. Эта регрессия выдаёт ответ в виде вероятности бинарного события (1 или 0).

Описание

Логистическая функция: $f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$.

Логистическая регрессия применяется для прогнозирования вероятности возникновения некоторого события по значениям множества признаков. Для этого вводится так называемая зависимая переменная $y$, принимающая лишь одно из двух значений — как правило, это числа 0 (событие не произошло) и 1 (событие произошло), и множество независимых переменных (также называемых признаками, предикторами или регрессорами) — вещественных $x_1,x_2,...,x_n$, на основе значений которых требуется вычислить вероятность принятия того или иного значения зависимой переменной. Как и в случае линейной регрессии, для простоты записи вводится фиктивный признак $x_0=1.$

Делается предположение о том, что вероятность наступления события $y=1$ равна:

$\mathbb{P}\{y=1\mid x\}=f(z),$

где $z={\theta }^{T}x={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+\dots +{\theta }_n{x}_n$, $x$ и $\theta$ — векторы-столбцы значений независимых переменных $1,x_1,\dots ,x_n$ и параметров (коэффициентов регрессии) — вещественных чисел ${\theta }_0,...,{\theta }_n$, соответственно, а $f(z)$ — так называемая логистическая функция (иногда также называемая сигмоидой или логит-функцией):

$f(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}.$

Так как $y$ принимает лишь значения 0 и 1, то вероятность принять значение 0 равна:

$\mathbb{P}\{y=0\mid x\}=1-f(z)=1-f({\theta }^{T}x).$

Для краткости функцию распределения $y$ при заданном $x$ можно записать в таком виде:

$\mathbb{P}\{y\mid x\}=f({\theta }^{T}x{)}^y(1-f({\theta }^{T}x){)}^{1-y},y\in \{0,1\}.$

Фактически, это есть распределение Бернулли с параметром, равным $f({\theta }^{T}x)$.

Подбор параметров

Для подбора параметров ${\theta }_0,...,{\theta }_n$ необходимо составить обучающую выборку, состоящую из наборов значений независимых переменных и соответствующих им значений зависимой переменной $y$. Формально, это множество пар $(x^{(1)},y^{(1)}),...,(x^{(m)},y^{(m)})$, где $x^{(i)}\in {ℝ}^n$ — вектор значений независимых переменных, а $y^{(i)}\in \{0,1\}$ — соответствующее им значение $y$. Каждая такая пара называется обучающим примером.

Обычно используется метод максимального правдоподобия, согласно которому выбираются параметры $\theta$, максимизирующие значение функции правдоподобия на обучающей выборке:

$\hat{\theta }={\mathrm{argmax}}_{\theta }L(\theta )={\mathrm{argmax}}_{\theta }\prod _{i=1}^m\mathbb{P}\{y=y^{(i)}\mid x=x^{(i)}\}.$

Максимизация функции правдоподобия эквивалентна максимизации её логарифма:

$\ln L(\theta )=\sum _{i=1}^m\log \mathbb{P}\{y=y^{(i)}\mid x=x^{(i)}\}=\sum _{i=1}^m[y^{(i)}\ln f({\theta }^T{x}^{(i)})+(1-y^{(i)})\ln (1-f({\theta }^T{x}^{(i)}))]$, где ${\theta }^T{x}^{(i)}={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1^{(i)}+\dots +{\theta }_n{x}_n^{(i)}.$

Для максимизации этой функции может быть применён, например, метод градиентного спуска. Он заключается в выполнении следующих итераций, начиная с некоторого начального значения параметров $\theta$:

$\theta :=\theta +\alpha \mathrm{\nabla }\ln L(\theta )=\theta +\alpha \sum _{i=1}^m(y^{(i)}-f({\theta }^T{x}^{(i)}))x^{(i)},\alpha >0.$

На практике также применяют метод Ньютона и стохастический градиентный спуск.

Регуляризация

Для улучшения обобщающей способности получающейся модели, то есть уменьшения эффекта переобучения, на практике часто рассматривается логистическая регрессия с регуляризацией.

Регуляризация заключается в том, что вектор параметров $\theta$ рассматривается как случайный вектор с некоторой заданной априорной плотностью распределения $p(\theta )$. Для обучения модели вместо метода наибольшего правдоподобия при этом используется метод максимизации апостериорной оценки, то есть ищутся параметры $\theta$, максимизирующие величину:

$\prod _{i=1}^m\mathbb{P}\{y^{(i)}\mid x^{(i)},\theta \}\cdot p(\theta ).$

В качестве априорного распределения часто выступает многомерное нормальное распределение $𝒩(0,{\sigma }^{2}I)$ с нулевым средним и матрицей ковариации ${\sigma }^{2}I$, соответствующее априорному убеждению о том, что все коэффициенты регрессии должны быть небольшими числами, идеально — многие малозначимые коэффициенты должны быть нулями. Подставив плотность этого априорного распределения в формулу выше, и прологарифмировав, получим следующую оптимизационную задачу:

$\sum _{i=1}^m\log \mathbb{P}\{y^{(i)}\mid x^{(i)},\theta \}-\lambda \Vert \theta {\Vert }^2\to \text{max},$

где $\lambda =\text{const}/{\sigma }^2$ — параметр регуляризации. Этот метод известен как L2-регуляризованная логистическая регрессия, так как в целевую функцию входит L2-норма вектора параметров для регуляризации.

Если вместо L2-нормы использовать L1-норму, что эквивалентно использованию распределения Лапласа, как априорного, вместо нормального, то получится другой распространённый вариант метода — L1-регуляризованная логистическая регрессия:

$\sum _{i=1}^m\log \mathbb{P}\{y^{(i)}\mid x^{(i)},\theta \}-\lambda \Vert \theta {\Vert }_1\to \text{max}.$

Применение

Эта модель часто применяется для решения задач классификации — объект $x$ можно отнести к классу $y=1$, если предсказанная моделью вероятность $\mathbb{P}\{y=1\mid x\}>0,5$, и к классу $y=0$ в противном случае. Получающиеся при этом правила классификации являются линейными классификаторами.

Связанные методы

На логистическую регрессию очень похожа пробит-регрессия, отличающаяся от неё лишь другим выбором функции $f(z)$. Softmax-регрессия обобщает логистическую регрессию на случай многоклассовой классификации, то есть когда зависимая переменная $y$ принимает более двух значений. Все эти модели в свою очередь являются представителями широкого класса статистических моделей — обобщённых линейных моделей.

См. также

• Модель бинарного выбора
• Пробит-регрессия

Литература

• Andrew Ng. Stanford CS229 Lecture Notes