Матрица Лемера

Матрица Лемера — симметричная матрица $L^n$, определяемая для каждого $n>1$ как:

$L_{ij}^n=\frac{\text{min}(i,j)}{\text{max}(i,j)}$.

Названа в честь Деррика Лемера.

Каждая из матриц Лемера $L^n$ является подматрицей $L^{n+m}$ (то есть $L_{ij}^{n+1}=L_{ij}^n$ для всех $i,j⩽n$). Значения элементов уменьшаются по мере удаления от главной диагонали; поскольку все элементы главной диагонали равны 1, то след $L^n$ равен $n$.

Обратная к матрице Лемера матрица является трёхдиагональной, где наддиагональ и поддиагональ имеют строго отрицательные элементы. Подматрица размерности $n\times n$ обратной к матрице Лемера $L^{n+m}$ совпадает с обратной к матрице $L^n$ за исключением элемента с индексом $(n,n)$.

Матрицы Лемера размеров 2×2, 3×3 и 4×4 и обратные к ним:

$\begin{array}{cc}{A}_2=\left(\begin{array}{cc}1& 1/2\\ 1/2& 1\end{array}\right)& A_2^{-1}=\left(\begin{array}{cc}4/3& -2/3\\ -2/3& \mathrm{𝟒}/\mathrm{𝟑}\end{array}\right)\\ \\ A_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 1/2& 1/3\\ 1/2& 1& 2/3\\ 1/3& 2/3& 1\end{array}\right)& A_3^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}4/3& -2/3& \\ -2/3& 32/15& -6/5\\ & -6/5& \mathrm{𝟗}/\mathrm{𝟓}\end{array}\right)\\ \\ A_4=\left(\begin{array}{cccc}1& 1/2& 1/3& 1/4\\ 1/2& 1& 2/3& 1/2\\ 1/3& 2/3& 1& 3/4\\ 1/4& 1/2& 3/4& 1\end{array}\right)& A_4^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}4/3& -2/3& & \\ -2/3& 32/15& -6/5& \\ & -6/5& 108/35& -12/7\\ & & -12/7& \mathrm{𝟏}\mathrm{𝟔}/\mathrm{𝟕}\end{array}\right)\end{array}$

Ссылки

• M. Newman and J. Todd, The evaluation of matrix inversion programs, Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, Volume 6, 1958, pages 466—476.