Метод суперпозиции

Метод суперпозиции — метод решения краевой задачи для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений путём преобразования в задачу Коши.

Описание метода

Основная идея метода суперпозиции заключается в преобразовании граничной задачи для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений к двум или нескольким задачам Коши, которые можно решить одним из методов решения задач Коши, например методом Рунге-Кутта. Это преобразование осуществляется путём представления искомого решения $x(t)$ в виде линейной суммы $x(t)=x_1(t)+C_1{x}_2(t)+...+C_N{x}_N(t)$ нескольких функций $x_1(t),x_2(t),...x_N(t)$, включающей столько неизвестных констант $C_1,...,C_N$, сколько недостаёт начальных условий для приведения к задаче Коши. Затем это представление $x(t)$ подставляется в исходное дифференциальное уравнение и в результате получаем систему из $N+1$ дифференциальных уравнений. При подстановке представления в условия для границ даёт возможность вычислить начальные условия задачи Коши и неизвестные константы $C_1,...,C_N$.

Пример

Рассмотрим краевую задачу, определяемую линейным дифференциальным уравнением второго порядка:

$f(t,x,\frac{dx}{dt},\frac{d^{2}x}{d{t}^2})=r(t)$ (1)

и граничными условиями

$x(0)=x_0,x(1)=x_1$ (2).

Для приведения краевой задачи к задаче Коши недостаёт одного условия, поэтому представим решение в виде

$x(t)=x_1(t)+C_1{x}_2(t)$ (3)

с одной неизвестной константой $C_1$.

Подставив это разложение в (1) получаем:

$[f(t,x_1,\frac{d{x}_1}{dt},\frac{d^2{x}_1}{d{t}^2})-r(t)]+C_1[f(t,x_2,\frac{d{x}_2}{dt},\frac{d^2{x}_2}{d{t}^2})]=0$

В этом уравнении оба слагаемых должны быть равны нулю.

$f(t,x_1,\frac{d{x}_1}{dt},\frac{d^2{x}_1}{d{t}^2})=r(t)$ (4)

$f(t,x_2,\frac{d{x}_2}{dt},\frac{d^2{x}_2}{d{t}^2})=0$ (5)

Первое граничное условие в (2) принимает вид:

$x_1(0)+C_1{x}_2(0)=x_0$,

отсюда вытекает:

$x_1(0)=x_0,x_2(0)=0$ (6 a, b)

Начальные условия для производной найдем путём дифференцирования (3) в точке 0:

$\frac{dx(0)}{dt}=\frac{d{x}_1(0)}{dt}+C_1\frac{d{x}_2(0)}{dt}$ (7)

Граничные условия для производной можно положить:

$\frac{d{x}_1(0)}{dt}=0,\frac{d{x}_2(0)}{dt}=1$ (8 a, b)

Из (6) получаем:

$\frac{dx(0)}{dt}=C_1$ (9)

Граничное условие во второй точке имеет вид:

$x_1(1)+C_1{x}_2(1)=x_1$

Из этого уравнения получаем:

$C_1=\frac{[x_1-x_1(1)]}{x_2(1)}$. (10)

Итак, мы получили все начальные данные для задачи Коши. Граничная задача (1), (2) решается следующим образом:

1. Интегрируем уравнение (4) с начальными условиями (6 a), (8 a) от 0 до 1. Получаем $x_1(1)$.
2. Интегрируем уравнение (5) с начальными условиями (6 b), (8 b) от 0 до 1. Получаем $x_2(1)$.
3. По формуле (10) вычисляем константу $C_1$, которая в силу (9) является недостающим начальным значением.
4. По формуле (3) вычисляем решение исходной задачи.

Литература

• Ц. На Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. - М.: Мир, 1982.