Метрический дифференциал

Метрический дифференциал — обобщение понятия производной на (липшицевы) отображения из евклидова пространства в произвольное метрическое пространство. Впервые рассмотрен Берндом Киркхаймом^[1].

Метрический дифференциал отображения $f : ℝ^{n} \to X$ в точке $x \in ℝ^{n}$ является нормой на $ℝ^{n}$ и обычно обозначается $M D_{x} f$ .

Определение

Метрический дифференциал отображения $f : ℝ^{n} \to X$ в точке $x \in ℝ^{n}$ определяется как норма $M D_{x} f$ на $ℝ^{n}$ такая, что

| f (x + v) - f (x + w)) |_{X} = M D_{x} f (v - w) + o (| v | - | w |),

где $| a - b |_{X}$ обозначает расстояние между точками $a$ и $b$ по норме $X$ .

Для метрического дифференциала выполняется аналог теоремы Радемахера — если f:ℝn→X липшицевское, то метрический дифференциал определён почти в каждой точке области определения.
- Прямое обобщение теоремы Радемахера невозможно, поскольку метрическое пространство не обладает линейной структурой, требуемой для дифференциала. Даже в случае банахова пространства $X = L^{1} ([0, 1])$ заключение самой теоремы неверно — например, отображение $f : [0, 1] \to X$ , определённое как индикатор $f (x) = χ_{[0, x]}$ , не имеет производную ни в одной точке, несмотря на то, что отображение липшицево и даже сохраняет расстояния.