Многообразие Уайтхеда

Первые три полнотория в построении

Многообразие Уайтхеда — определённый пример открытого трёхмерного многообразия, являющегося стягиваемым, но не гомеоморфным ${ℝ}^3$. Пример был найден Генри Уайтхедом в 1935 году при попытке решить гипотезу Пуанкаре.

В одномерном и двумерном случаях подобных примеров не существует.

Построение

зацепление Уайтхеда

Для построения в трёхмерной сфере ${𝕊}^{\mathrm{𝟛}}$ выбирается незаузленное полноторие $T_1$, далее — второе полноторие $T_2$ в $T_1$ так, что $T_2$ и трубчатая окрестность меридиана $T_1$ образуют утолщение зацепления Уайтхеда. При этом $T_2$ можно стянуть в дополнении меридиана $T_1$ и меридиан $T_1$ можно стянуть в дополнении $T_2$.

Далее строится полноторие $T_3$, вложенное в $T_2$ тем же способом, как и $T_2$ для $T_1$; это построение можно продолжить до бесконечности, получив последовательность вложенных полнотрий:

$T_1\supset T_2\supset T_3\supset \dots$

Шаблон:ЯкорьКонтинуум Уайтхеда определяется как пересечение построенных полнотрий:

$T_{\mathrm{\infty }}=\bigcap _i{T}_i$.

Дополнение $W={𝕊}^{\mathrm{𝟛}}\setminus T_{\mathrm{\infty }}$ и есть многообразие Уайтхеда.

Свойства

• Многообразие Уайтхеда, $W$, не гомеоморфно ${ℝ}^3$, но произведение $W\times ℝ$ гомеоморфно ${ℝ}^4$.
• Многообразие Уайтхеда не односвязно на бесконечности. То есть $W$ содержит компактное множество $K$ такое, что для любого другого компактного множества $K^{\prime }\supset K$ дополнение $W\mathrm{\setminus }{K}^{\prime }$ не односвязно.

См. также

• Ожерелье Антуана

Литература

• Шаблон:Книга