Модель упорядоченного выбора

Модель упорядоченного выбора (упорядоченная регрессия, Шаблон:Lang-en) — применяемая в эконометрике модель с упорядоченной (с ранжированными значениями) дискретной зависимой переменной, в качестве которой могут выступать, например, оценки чего-либо по пятибалльной шкале, рейтинги компаний и т. д. В рамках данной модели предполагается, что количество значений зависимой переменной конечно.

Сущность модели

Пусть $y$ — наблюдаемая дискретная переменная с $q$ возможными упорядоченными значениями, которые для упрощения можно принять равными целым числам от $0$ до $q-1$ (или от $1$ до $q$). Пусть также $x$-вектор факторов, влияющих на значение зависимой переменной. Предполагается, что существует «обычная» (недискретная) скрытая переменная $y^{\ast }$, также зависящая от этих факторов, в зависимости от значений которой зависимая переменная принимает те или иные значения. Соответственно необходимо определить (их можно либо задать априорно, либо оценить вместе с другими параметрами модели) несколько пороговых значений скрытой переменной следующим образом:

$y=\{\begin{array}{c}1,y^{\ast }⩽c_1\\ 2,c_1<y^{\ast }⩽c_2\\ 3,c_2<y^{\ast }⩽c_3\\ \mathrm{...}\\ q,y^{\ast }>c_{q-1}\end{array}$

Соответственно, если обозначить $p_i=P(y=i|X=x)$, $i=\mathrm{1...}q$, то

$p_i=P(c_{i-1}<y^{\ast }⩽c_i)$.

где $c_0=-\mathrm{\infty }$, $c_q=\mathrm{\infty }$.

Для скрытой переменной предполагается обычная линейная модель регрессии по факторам модели: $y^{\ast }=x^{T}b+\epsilon$. Обозначим интегральную функцию распределения случайной ошибки этой модели через $F$. Тогда

$p_i=P(c_{i-1}<y^{\ast }⩽c_i)=P(c_{i-1}-x^{T}b<\epsilon ⩽c_i-x^{T}b)=F(c_i-x^{T}b)-F(c_{i-1}-x^{T}b)$

С учетом того, что $F(c_0-x^{T}b)=0$, $F(c_q-x^{T}b)=1$ фактически модель упорядоченного выбора можно записать следующим образом:

$\{\begin{array}{c}{p}_1=F(c_1-x^{T}b)\\ p_2=F(c_2-x^{T}b)-F(c_1-x^{T}b)\\ p_3=F(c_3-x^{T}b)-F(c_2-x^{T}b)\\ \mathrm{...}\\ p_q=1-F(c_{q-1}-x^{T}b)\end{array}$

В качестве распределения $F$ обычно используют либо нормальное распределение (упорядоченный пробит), либо логистическое распределение (упорядоченный логит)

Оценка параметров

Оценка параметров модели (включая пороговые значения) производится обычно методом максимального правдоподобия. Логарифмическая функция правдоподобия равна:

$l(b,c)=\sum _{i=1}^q\sum _{\mathrm{\forall }t,y_t=i}\ln p_i(x_t)$

Максимизация этой функции по неизвестным параметрам b и c и позволяет найти соответствующие оценки ММП.

См. также

• Пробит-регрессия
• Логистическая регрессия