Неравенство треугольника Ружа

Неравенство треугольника Ружа связывает все попарные множества разностей трёх множеств в произвольной группе.

Формулировка

Пусть $(G,+)$ — группа и $U,V,W\subset G$.

Тогда $|U|\cdot |V-W|\le |V-U|\cdot |U-W|$, где $A-B=\left\{a-b:a\in A,b\in B\right\}$.

Неравенство треугольника со сложением

Имеется ещё одно неравенство, аналогичное неравенству треугольника Ружи, которое, однако, доказывается сложнее, чем классическое - с использованием неравенства Плюннеке-Ружа, которое само доказывается с испооьзованием классического неравенства Ружи.

$|U|\cdot |V+W|\le |V+U|\cdot |U+W|$

Доказательство

Рассмотрим функцию $\phi :(V-U)\times (U-W)\to (V-W)$, определяемую как $\phi (x,y)=x+y$. Тогда для каждого образа $v-w\in V-W$ существует не менее $|U|$ различных прообразов вида $(v-u,u-w),u\in U$. Это означает, что общее число прообразов не меньше, чем $|V-W||U|$. Значит, $|U||V-W|\le |V-U||U-W|$

Аналогия с неравенством треугольника

Рассмотрим функцию, определяющую "расстояние между множествами" в терминах разности Минковского:

$\rho (A,B)=\log \frac{|A-B|}{\sqrt{|A||B|}}$

Эта функция не является метрикой, потому что для неё не выполняется равенство $\rho (A,A)=0$, но она, очевидно, симметрична, и из неравенства Ружа напрямую следует неравенство треугольника для неё:

$\rho (V,W)\le \rho (V,U)+\rho (U,W)$

Следствия

Подставив $V=W=A,U=B$, получим

$|B|\cdot |A-A|\le |A-B{|}^2$

$|A-A|\le \left(\frac{|A-B|}{|B|}\right)\cdot |A-B|$

$|A-B|\le K\cdot |B|,K\in ℝ\Rightarrow |A-A|\le K^2\cdot |B|$

Подставив $W=-W^{\prime }$, получим

$|U|\cdot |V+W^{\prime }|\le |V-U|\cdot |U+W^{\prime }|$

Подставив $U=-U^{\prime }$, получим

$|U^{\prime }|\cdot |V-W|\le |V+U^{\prime }|\cdot |U^{\prime }+W|$.

См. также

• Неравенство Плюннеке — Ружа