Ограничение Вейля

Ограничение скаляров (известное также как «ограничение Вейля») — это функтор, который для любого конечного расширения поля L/k и любого алгебраического многообразия X над L даёт другое многообразие Res_L/kX, определённое над k. Ограничение скаляров полезно для сведения вопросов о многообразиях над большими полями к вопросам о более сложных многообразиях над меньшими полями.

Определение

Пусть L/k будет конечным расширением поля, а X — многообразием, определённым над L. Функтор ${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{L/k}X$ из k-схем^op в множества определяется выражением

${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{L/k}X(S)=X(S{\times }_{k}L)$

(В частности, k-рациональные точки многообразия ${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{L/k}X$ являются L-рациональными точками многообразия X.) Многообразие, которое представляет этот функтор, называется ограничением скаляров и оно единственно с точностью до изоморфизма, если существует.

С точки зрения пучков множеств ограничение скаляров является просто дифференциалом вдоль морфизма Spec L $\to$ Spec k и сопряжёно справа Шаблон:Не переведено 5, так что вышеприведённое определение можно перефразировать в более общем виде. В частности, можно заменить расширения поля на любой морфизм окольцованных топосов, а предположение о X может быть ослаблено, к примеру, до стеков. Это приводит к более слабому контролю над поведением ограничения скаляров.

Свойства

Для любого конечного расширения поля ограничение скаляров переводит квазипроективное многообразие в квазипроективное многообразие. Размерность получаемого многообразия умножается на степень расширения.

При подходящих условиях (например, плоский, собственный, конечно определённый), любой морфизм $T\to S$ Шаблон:Не переведено 5 даёт функтор ограничения скаляров, который переводит Шаблон:Не переведено 5 в алгебраические стеки, сохраняя такие свойства, как стек Артина, стек Делиня — Мамфорда и представимость.

Примеры и приложения

1) Пусть L — конечное расширение поля k степени s. Тогда ${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{L/k}$(Spec L) = Spec(k) и $Re{s}_{L/k}{𝔸}^1$ является s-мерным аффинным пространством ${𝔸}^s$ над Spec k.

2) Если X является аффинным L-многообразием, определённым выражением

$X=\text{Spec}L[x_1,\dots ,x_n]/(f_1,\dots ,f_m)$

мы можем записать ${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{L/k}X$ как Spec $k[y_{i,j}]/(g_{l,r})$, где y_i,j ($1\le i\le n,1\le j\le s$) новые переменные, а g_l,r ($1\le l\le m,1\le r\le s$) является многочленом от $y_{i,j}$ получаемый выбором k-базиса $e_1,\dots ,e_s$ расширения L и полагая $x_i=y_{i,1}{e}_1+\dots +y_{i,s}{e}_s$ и $f_t=g_{t,1}{e}_1+\dots +g_{t,s}{e}_s$.

3) Ограничение скаляров над конечным расширением поля переводит Шаблон:Не переведено 5 в групповые схемы.

В частности:

4) Тор

$𝕊:={\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{ℂ/ℝ}{𝔾}_m$,

где G_m означает мультипликативную группу, играет существенную роль в теории Ходжа, поскольку Шаблон:Не переведено 5 вещественных структур Ходжа эквивалентен категории представлений S. Вещественные точки имеют структуру группы Ли, изоморфную ${ℂ}^{\times }$. См. Шаблон:Не переведено 5.

5) Ограничение Вейля ${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{L/k}𝔾$ (коммутативного) группового многообразия $𝔾$ снова является (коммутативным) групповым многообразием размерности $[L:k]\dim 𝔾$, если L сепарабельно над k. Александр Момот применил ограничения Вейля коммутативных групповых многообразий с $k=ℝ$ и $L=ℂ$ с целью получить новые результаты в теории трансцендентности, которая основывалась на увеличении алгебраической размерности.

6) Ограничение скаляров на абелевых многообразиях (например, эллиптических кривых) дают абелевы многообразия, если L сепарабельно над k. Джеймс Миль использовал это для сведения гипотезы Бёрча — Свиннертон-Дайера над абелевыми многообразиями над всеми числовыми полями к той же гипотезе над рациональными числами.

7) В эллиптической криптографии спуск Вейля использует ограничение Вейля для преобразования задачи дискретного логарифмирования на эллиптической кривой над конечным расширением поля L/K в задачу дискретного логарифмирования на Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:Не переведено 5 над базовым полем K, которую потенциально решить легче ввиду меньшего размера поля K.

Построения Вейля по сравнению с преобразованиями Гринберга

Ограничение скаляров аналогично преобразованию Гринберга, но не обобщает его, поскольку кольцо векторов Витта на коммутативной алгебре A в общем случае не является A-алгеброй.

Литература

• Шаблон:Книга Заметки к лекциям, прочитанным в 1959-1960 годах.
  • Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья