Окружность на сфере

Большая окружность (большой круг)

Малая окружность (малый круг)

Окру́жность на сфе́ре (круг на ша́реШаблон:Sfn) — сечение сферы плоскостьюШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Различают следующие два вида окружностей на сфере, два вида сечений сферы плоскостьюШаблон:Sfn.

Большая окружность (большой круг), или геодезическая линияШаблон:Sfn, — окружность на сфере, плоскость сечения которой есть диаметральная плоскость, то есть проходит через центр сферыШаблон:Sfn.

Сферическое расстояние между двумя точками сферы — длина дуги большой окружности, проходящей через эти две токи и не превосходящей полуокружностиШаблон:Sfn.

Малая окружность (малый кругШаблон:Sfn) — окружность на сфере, плоскость сечения которой отлична от диаметральной плоскости, то есть не проходит через центр сферыШаблон:Sfn, другими словами, это окружность на сфере, отличная от большой окружностиШаблон:Sfn.

Сферический центр большой окружности на сфере — точка пересечения сферы с осью окружности, то есть диаметром сферы, перпендикулярным к плоскости сеченияШаблон:Sfn.

Любая большая сферическая окружность имеет два диаметрально противоположных сферических центраШаблон:Sfn.

Полюс большой окружности — её сферический центр, при этом сама большая окружность называется полярой полюсаШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Определения

Окружность на сфере (круг на шареШаблон:Sfn) — сечение сферы плоскостьюШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Покажем, что действительно при сечении сферы плоскостью получается окружность. Опустим из центра сферы перпендикуляр на секущую плоскость, затем повернём трёхмерное пространство на произвольный угол вокруг этого перпендикуляра. При таком повороте сфера и плоскость перейдут сами в себя, а с ними и кривая их пересечения. Следовательно, точка пересечения перпендикуляра с плоскостью находится от любой точки кривой пересечения на фиксированном расстоянии, то есть эта кривая — окружность с центром в точке пересечения перпендикуляра с плоскостьюШаблон:Sfn.

Различают следующие два вида окружностей на сфере, два вида сечений сферы плоскостьюШаблон:Sfn.

Шаблон:Якорь Диаметральная плоскость сферы — плоскость, проходящая через центр сферы.

Большая окружность (большой круг), или геодезическая линияШаблон:Sfn, — окружность на сфере, плоскость сечения которой есть диаметральная плоскостьШаблон:Sfn.

Шаблон:Якорь Сферическое расстояние между двумя точками сферы — длина дуги большой окружности, проходящей через эти две токи и не превосходящей полуокружности, поскольку эта дуга есть кратчайшая линия, соединяющая две точки на сфереШаблон:Sfn.

Шаблон:Якорь Малая окружность (малый кругШаблон:Sfn) — окружность на сфере, плоскость сечения которой отлична от диаметральной плоскости, то есть не проходит через центр сферыШаблон:Sfn, другими словами, это окружность на сфере, отличная от большой окружностиШаблон:Sfn.

Пересечение сферы и плоскости

Найдём формулу для радиуса окружности на сфере. Поскольку этот радиус $\rho$ есть катет прямоугольного треугольника (см. рисунок справа с окружностью на сфере и с прямоугольным треугольником) с гипотенузой, равной радиусу сферы $r$, и вторым катетом, равным длине перпендикуляра $h$, опущенного из центра сферы на плоскость сечения, то по теореме Пифагора получаемШаблон:Sfn:

$\rho =\sqrt{r^2-h^2}$.

Эта формула показывает, чтоШаблон:Sfn:

• большая окружность имеет максимальный радиус $\rho =r$, поскольку $h=0$;
• малая окружность имеет меньший радиус $\rho <r$, поскольку $h>0$.

Свойства больших окружностей на сфере

Две точки на сфере и большие окружности

Шаблон:Якорь Диаметрально противоположные точки на сфере — две точки на сфере, соединённые её диаметром.

Большая окружность, проходящая через две точки на сфере

Предложение 1. Через две любые точки на сфере, которые не диаметрально противоположны, проходит единственная большая окружность (см. рисунок справа с такой большой окружностью)Шаблон:Sfn.

Доказательство. Поскольку через три любые точки трёхмерного пространства, которые не лежат на одной прямой, проходит единственная плоскость, то через две любые точки на сфере, которые не диаметрально противоположны, и через центр сферы проходит единственная диаметральная плоскостьШаблон:Sfn.

Две пары диаметрально противоположных точек

Плоская аналогия. На плоскости через две любые точки проходит единственная прямаяШаблон:Sfn.

Две большие окружности

Предложение 2. Через две любые диаметрально противоположные точки на сфере проходит бесконечное множество больших окружностей (см. рисунок слева с двумя парами диаметрально противоположных точек)Шаблон:Sfn.

Предложение 3. Две любые большие окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках (см. рисунок справа с двумя большими окружностями)Шаблон:Sfn.

Доказательство. Две любые диаметральные плоскости сферы всегда пересекаются по диаметру сферыШаблон:Sfn.

Отсутствие плоской аналогии. На плоскости две любые прямые пересекаются не более чем в одной точкеШаблон:Sfn. Шаблон:Clear

Разбиение сферы большими окружностями

Две полусферы

Предложение 1. Большая окружность разбивает сферу на две части — на два сферических сегмента, которые суть полусферы (см. рисунок справа с двумя полусферами)Шаблон:Sfn.

Доказательство. Плоскость делит трёхмерное пространство на два полупространстваШаблон:Sfn.

Четыре двуугольника

Плоская аналогия. На плоскости прямая разбивает плоскость на две полуплоскостиШаблон:Sfn.

Восемь сферических треугольников

Предложение 2. Две большие окружности разбивает сферу на четыре части — на четыре двуугольника (см. рисунок слева с четырьмя частями сферы)Шаблон:Sfn.

Три прямые и семь областей

Доказательство. Две пересекающиеся плоскости делят трёхмерное пространство на четыре частиШаблон:Sfn.

Плоская аналогия. На плоскости две пересекающиеся прямые разбивают плоскость на четыре частиШаблон:Sfn.

Предложение 3. Три большие окружности, не пересекающиеся в одной точке, разбивает сферу на восемь частей — на восемь сферических треугольников (см. рисунок справа с восемью частями сферы)Шаблон:Sfn.

Доказательство. Три пересекающиеся в одной точке плоскости делят трёхмерное пространство на восемь частейШаблон:Sfn.

Эти восемь сферических треугольника разбиваются на четыре пары диаметрально противоположныхШаблон:Sfn.

Отсутствие плоской аналогии. На плоскости три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие сразу все три через одну точку, разбивают плоскость на семь частей (см. рисунок слева с тремя прямыми)Шаблон:Sfn. Шаблон:Clear

Плоскость сечения сферы и два сферических центра

Три пары полюсов и три поляры

Большая окружность как поляра

Шаблон:Якорь Сферический центр большой окружности на сфере — точка пересечения сферы с осью окружности, то есть диаметром сферы, перпендикулярным к плоскости сечения (см. рисунок справа с двумя сферическими центрами)Шаблон:Sfn.

Любая большая сферическая окружность имеет два диаметрально противоположных сферических центраШаблон:Sfn.

Шаблон:ЯкорьШаблон:Якорь Полюс большой окружности — её сферический центр, при этом сама большая окружность называется полярой полюсаШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Каждая пара диаметрально противоположных точек на сфере имеет единственную поляру, для которой эти точки суть полюсыШаблон:Sfn.

Пример. Полюсы экватора Земли суть оба её географические полюсы — Северный и ЮжныйШаблон:Sfn.

Полюс отстоит от поляры на четверть окружности, то есть на $90^{\circ }$ (см. рисунок справа с тремя парами полюсов)Шаблон:Sfn.

Полярно сопряжённые точки на сфере — точка на большой окружности и любой из двух её полюсов, другими словами, на сфере две точки полярно сопряжены, если диаметры сферы, проходящие через них, перпендикулярныШаблон:Sfn. Шаблон:Clear

Свойства малых окружностей на сфере

Сферический круг

Малая окружность, проходящая через три точки на сфере

Предложение 1. Через три любые точки на сфере, которые не лежат вместе на большой окружности, проходит единственная малая окружность (см. рисунок справа с такой малой окружностью)Шаблон:Sfn.

Доказательство. Через три любые точки на сфере проходит единственная плоскостьШаблон:Sfn.

Предложение 2. Малая окружность разбивает сферу на две части — на два сферических сегмента(см. рисунок справа с малой окружностью)Шаблон:Sfn.

Доказательство. Плоскость делит трёхмерное пространство на два полупространстваШаблон:Sfn.

Сферический круг — меньший из двух сферических сегментов, нв которые разбивает сферу его граница — малая окружность, то есть тот сферический сегмент, который не выходит за пределы полусферыШаблон:Sfn.

Сферический центр и сферический радиус

Сферический центр и сферический радиус

Предложение 1. Окружность на сфере есть геометрическое место точек этой сферы, сферическое расстояние которых одинаково как от некоторой фиксированной точки сферы, так и от её диаметрально противоположной (см. рисунок справа с малой окружностью)Шаблон:Sfn.

Доказательство. Опустим из центра сферы перпендикуляр на секущую плоскость, затем повернём трёхмерное пространство на произвольный угол вокруг этого перпендикуляра. При таком повороте сфера и плоскость перейдут сами в себя, а с ними и окружность — кривая их пересечения. Следовательно, сферическое расстояние между точкой пересечения перпендикуляра со сферой и любой точки окружности фиксировано. Обратно, геометрическое место точек сферы, равноудалённых от её данной точки, есть окружность, то есть переходит само в себя при повороте вокруг диаметра сферы, конец которого — эта точка. Этим же свойством обладает и диаметрально противоположная точкаШаблон:Sfn.

Шаблон:Якорь Сферический центр малой окружности — точка на сфере, для которой фиксированное сферическое расстояние от неё до точек данной малой окружности меньше $\frac{\pi }{2}r$, где $r$ — радиус сферы (см. рисунок справа со сферическим центром $A$)Шаблон:Sfn.

Шаблон:Якорь Сферический радиус малой окружности — сферическое расстояние от точек малой окружности до её сферического центра (см. рисунок справа со сферическим радиусом $R$)Шаблон:Sfn.

Предложение 2. Сферический центр малой окружности лежит на сферическом круге, ограниченном этой малой окружностьюШаблон:Sfn.

Для большой окружности два её сферических центра суть её полюсы, а сферическим радиусом можно считать число $\frac{\pi }{2}r$, где $r$ — радиус сферыШаблон:Sfn.

Пример. Теоретически при наблюдении в открытом море возникают два малых круга:

• с учётом рефракции — видимый горизонт наблюдателя, сферический радиус которого называется дальностью видимого горизонта;
• без учёта рефракции — теоретический видимый горизонт, сферический радиус которого называется теоретической дальностью видимого горизонта,

поэтому просто дальность всегда больше теоретической дальности. На практике при расчётах теоретическую дальность заменяют приближённой — расстоянием от глаза наблюдателя по касательной к теоретической линии горизонта. Сферический радиус — дальность видимого горизонта — измеряется в морских милях, а не в градусах или радианах, как в математикеШаблон:Sfn.

База и параметр

База и параметр

Предложение 1. Малая окружность сферы — геометрическое место точек сферы, которые:

• равноудалены от некоторой фиксированной большой окружности;
• находятся по одну сторону от этой большой окружности.

И наоборот (см. рисунок справа с малой и большой окружностями)Шаблон:Sfn.

Доказательство. Пусть дана малая окружность на сфере. Рассмотрим поляру её сферического центра — большую окружность. Плоскость этой большой окружности перпендикулярна плоскостям больших окружностей, которые проходят через сферический центр малой окружности. Поэтому сферическое расстояние от точек данной малой окружности до этой большой окружности одинаково и равно дополнению сферического радиуса малой окружности до $\frac{\pi }{2}r$, где $r$ — радиус сферыШаблон:Sfn.

Обратно. Геометрическое место точек сферы, равноудалённых от данной фиксированной большой окружности и находящихся от неё по одну сторону, есть геометрическое место точек, равноудалённых от одного из её полюсов, то есть малая окружность. Предложение доказаноШаблон:Sfn.

Шаблон:Якорь База малой окружности — большая окружность, плоскость которой параллельна плоскости данной малой окружности (см. рисунок справа с красной базой)Шаблон:Sfn.

Шаблон:Якорь Параметр малой окружности — сферическое расстояние от точек данной малой окружности до её базы (см. рисунок справа с параметром $P$)Шаблон:Sfn.

Предложение 2. Для малой окружности сумма сферического радиуса $R$ и параметра $P$ равна $\frac{\pi }{2}r$Шаблон:Sfn.

Длина окружности и площадь сферического круга

Сферический радиус, параметр и сферический круг

Предложение 1. Пусть дана окружность сферы радиуса $R$ и параметра $P=\frac{\pi }{2}r-R$. Тогда её длина $C$ равна следующим выражениямШаблон:Sfn:

$C=2\pi r\sin \frac{R}{r}=2\pi r\cos \frac{P}{r}$.

Доказательство. Рассмотрим малую окружность с плоским центром $Q$, плоским радиусом $\rho$ и её произвольной точкой $M$ (см. рисунок справа с такой малой окружностью). Если $O$ — центр сферы радиуса $r$, на которой лежит эта малая окружность, то $OM=r$, $QM=\rho$ и $\mathrm{\angle }MOQ=\frac{R}{r}$. Из прямоугольного треугольника $OQM$ находим, что радиус малой окружности $\rho =r\sin \frac{R}{r}$, то есть длина окружности сферического радиуса $R$ равна $C=2\pi r\sin \frac{R}{r}$. Поскольку $\sin \frac{R}{r}=\cos \frac{P}{r}$, то длину малой окружности можно выразить также через её параметр $P$: $C=2\pi r\cos \frac{P}{r}$Шаблон:Sfn.

Предложение 2. Площадь $S$ сферического круга радиуса $R$ на сфере радиуса $r$ равна следующему выражениюШаблон:Sfn:

$S=4\pi r^2{\sin }^2\frac{R}{2r}$.

Доказательство. Сферический круг, ограниченный малой окружностью сферического радиуса $R$, — это сферический сегмент с высотой (см. рисунок справа со сферическим кругом)

$H=r(1-\cos \frac{R}{r})=2r{\sin }^2\frac{R}{2r}$,

но площадь сферического сегмента высоты $H$ равна $2\pi rH$, поэтому площадь сферического круга радиуса $R$ равна следующему выражениюШаблон:Sfn:

$S=4\pi r^2{\sin }^2\frac{R}{2r}$.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H