Октаэдральное число

146 магнитных шариков, образующие октаэдр

Октаэдральное число — разновидность многогранных фигурных чисел. Поскольку октаэдр можно рассматривать как две квадратные пирамиды, склеенные своими основаниями (см. рисунок), октаэдральное число определяется как сумма двух последовательных квадратных пирамидальных чиселШаблон:Sfn:

$O_n={\mathrm{\Pi }}_{n-1}^{(4)}+{\mathrm{\Pi }}_n^{(4)}$

Общая формула для $n$-го по порядку октаэдрального числа $O_n$:

$O_n=\frac{n(2n^2+1)}{3}$

Первые из октаэдральных чисел (Шаблон:OEIS):

$1,6,19,44,85,146,231,344,489,670\dots$

Рекуррентная формула:

$O_{n+1}=O_n+(n+1{)}^2+n;O(1)=1$

Производящая функция последовательности:

$\frac{x(x+1{)}^2}{(x-1{)}^4}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{O}_n{x}^n=x+6x^2+19x^3+\cdots ;|x|<1$

Связь с фигурными числами других типов

Данное выше определение связало октаэдральные числа с квадратными пирамидальными. Связь с тетраэдральными числами ${𝕋}_n$:

$O_n+4{𝕋}_{n-1}={𝕋}_{2n-1}$

Геометрически эта формула означает, что если наклеить по тетраэдру на четыре не смежные грани октаэдра, то получится тетраэдр удвоенного размера.

Ещё один вид связи:

$O_n={𝕋}_n+2{𝕋}_{n-1}+{𝕋}_{n-2}$

Эта формула вытекает из определения и того факта, что квадратное пирамидальное число есть сумма двух тетраэдральных. Другое её истолкование: октаэдр может быть разделён на четыре тетраэдра, каждый из которых имеет две изначально смежные грани.

Связь с тетраэдральными и кубическими числами:

$O_n+2{𝕋}_{n-1}=n^3$

Разность двух последовательных октаэдральных чисел есть центрированное квадратное число:

$O_{n+1}-O_n=C_{n+1}^4=(n+1{)}^2+n^2$

Гипотеза Поллока

В 1850 году британский математик-любитель, член Королевского общества сэр Джонатан Фредерик Поллок. выдвинул предположение, что каждое натуральное число является суммой не более семи октаэдральных чисел. Гипотеза Поллока до сих пор не доказана и не опровергнута. Компьютерная проверка показала, что, скорее всего:

• 309 — самое большое число, которое требует ровно семь слагаемых;
• Шаблон:Число — последнее число, требующее шесть слагаемых;
• Шаблон:Число — последнее число, требующее пять слагаемых.

Если гипотеза Поллока верна, то доказано, что должны существовать сколь угодно большие числа, нуждающиеся в четырёх слагаемыхШаблон:Sfn.

Применение

В химии октаэдрические числа могут использоваться, чтобы описать числа атомов в октаэдрических кластерах (см. «магические кластеры»).

Литература

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Mathworld