Оператор Шрёдингера

Оператор Шрёдингера — дифференциальный оператор вида:

$H=-\sum _{j=1}^n\frac{1}{2m_j}{\mathrm{\Delta }}_j+\sum _{i<j}^n{v}_{ij}(x_i-x_j)+\sum _{j=1}^n{v}_j(x_i)$.

Представляет собой оператор эллиптической сингулярной краевой задачи. Математическая теория операторов Шрёдингера используется в квантовой механикеШаблон:Sfn, дифференциальной геометрии (доказательство теоремы Гаусса — БоннеШаблон:Sfn), топологии (в теории Морса при доказательстве неравенства МорсаШаблон:Sfn). Допускает многочисленные обобщенияШаблон:Sfn. При некоторых условиях на потенциалы $v_{ij}(x)$ и $v_j(x)$ является самосопряжённым оператором со всюду плотной областью определения в пространстве квадратично интегрируемых функций $\psi (x_1,\dots ,x_n))$Шаблон:SfnШаблон:Sfn. Это свойство равносильно однозначной разрешимости нестационарного уравнения ШрёдингераШаблон:Sfn. Оно очень важно для оснований квантовой механики, поскольку лишь самосопряжённые операторы описывают квантовомеханические наблюдаемые. В квантовой механике оператор Шрёдингера представляет собой оператор энергии системы $n$ заряженных частиц в координатном представлении. При приближённом описании поведения частицы во внешнем поле или системы двух взаимодействующих частиц оператор Шредингера определён в пространстве квадратично интегрируемых функций и имеет вид: $H=-\mathrm{\Delta }+v(x)$, где $x$ — вектор трёхмерного пространстваШаблон:Sfn.

Одномерный оператор Шрёдингера

Одномерный оператор Шрёдингера имеет вид:

$H_1=-\frac{d^2}{d{z}^2}+v(z)$,

где $z$ — вектор одномерного пространства. В случае бесконечно растущего потенциала $v(z)\to \mathrm{\infty }$ при $\left|z\right|\to \mathrm{\infty }$ его спектр является дискретным, однократным. В случае гармонического осциллятора — $v(z)=z^2$. Собственные значения ${\lambda }_n=2n+1$ и собственные функции ${\psi }_n(z)=e^{-\frac{z^2}{2}}{H}_n(z)$, где $n=0,1,2,\dots$, $H_n(z)$ — полиномы Эрмита.

Достаточный признак самосопряжённости оператора Шрёдингера

Для оператора Шрёдингера для системы $n$ частиц, определённого на гладких финитных функциях:

$H=-\sum _{j=1}^n\frac{1}{2m_j}{\mathrm{\Delta }}_j+\sum _{i<j}^n{v}_{ij}(x_i-x_j)+\sum _{j=1}^n{v}_j(x_i)$,

достаточными условиями существенной самосопряжённости являются условия:

$\underset{\left|x\right|⩽R}{\int }{v}_{ij}^2(x)<\mathrm{\infty }$,

$\underset{\left|x\right|⩽R}{\int }{v}_j^2(x)<\mathrm{\infty }$,

и при $\left|x\right|⩾R$ условия:

$|v_{ij}(x)|⩽M$,

$|v_j(x)|⩽M$.

Область определения замыкания оператора Шрёдингера в этом случае совпадает с областью определения замыкания оператора $-\sum _{j=1}^n{\mathrm{\Delta }}_j$Шаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга