Осцилляции Шубникова — де Хааза в графене

Шаблон:Физическая теория Осцилляции Шубникова — де Хааза в графене (в русском языке также распространено написание Осцилляции Шубникова — де Гааза) впервые наблюдали в 2005 году. Эффект заключается в периодическом изменении сопротивления или проводимости электронного или дырочного газа как функции обратного магнитного поля. Он связан с осциллирующим поведением плотности состояний в магнитном поле.

Период осцилляций

Энергия дираковских безмассовых фермионов в магнитном поле пропорциональна корню из магнитного поля и при заполнении релятивистских уровней Ландау s и s + 1 можно записать для электронов на уровне Ферми (${\epsilon }_F$) следующие соотношения:

${\epsilon }_F=\hslash {\omega }_c^s\sqrt{s},$

${\epsilon }_F=\hslash {\omega }_c^{s+1}\sqrt{s+1},$

где «циклотронная частота» ${\omega }_c^s=\sqrt{2}\frac{v_F}{l_{B_s}}=v_F\sqrt{\frac{2e{B}_s}{\hslash }}$, а магнитная длина $l_{B_s}=\sqrt{\frac{\hslash }{e{B}_s}}$, $s$ — натуральное число 1, 2, 3, …, $v_F$ — фермиевская скорость, $\hslash$ — постоянная Планка, $e$ — элементарный заряд, $B_s$ — магнитное поле, соответствующее s-му уровню Ландау. Концентрация электронов без магнитного поля равна $n=\frac{g_s{g}_v{\epsilon }_F^2}{4\pi {\hslash }^2{v}_F^2}$. Используя это соотношение при условии, что магнитное поле не изменяет уровень Ферми (например он зафиксирован по внешним причинам), получим

$\pi {\hslash }^{2}n=\frac{{\epsilon }_F^2}{v_F^2}=2se{B}_s\hslash ,$

или

$s=\frac{\pi \hslash n}{2e{B}_s},$

$s+1=\frac{\pi \hslash n}{2e{B}_{s+1}}.$

Вычитая из последнего равенства предпоследнее, найдём соотношение для периода осцилляций $\mathrm{\Delta }{B}_s^{-1}$:

$1=\frac{\pi \hslash n}{2e}(\frac{1}{B_{s+1}}-\frac{1}{B_s})=\frac{\pi \hslash n}{2e}\mathrm{\Delta }{B}_s^{-1}.$

Здесь можно определить концентрацию носителей через период:

$n=\frac{2e}{\pi \hslash \mathrm{\Delta }{B}_s^{-1}}$

или фундаментальную частоту $B_F$

$n=\frac{2e}{\pi \hslash }{B}_F.$

Эта формула аналогична формуле для концентрации двумерного электронного газа в инверсионных слоях кремния (100).

Теория Гусынина — Шарапова

В статье Гусынина и Шарапова показано, что осциллирующую часть продольной компоненты тензора проводимости можно записать в виде

${\sigma }_{\text{osc}}=\frac{4e^2|\mu |}{\pi }\frac{({\mu }^2-{\mathrm{\Delta }}^2+{\mathrm{\Gamma }}^2)\mathrm{\Theta }({\mu }^2-{\mathrm{\Delta }}^2-{\mathrm{\Gamma }}^2)}{(\hslash v_F^{2}eB{)}^2+(2\mu \mathrm{\Gamma }{)}^2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\cos \left(\frac{\pi k({\mu }^2-{\mathrm{\Delta }}^2-{\mathrm{\Gamma }}^2)}{\hslash v_F^{2}eB}\right)R_T(k,\mu )R_D(k,\mu ),$

где $\mu$ — химический потенциал, $\mathrm{\Delta }$ — ширина запрещённой зоны (в случае графена равна нулю), $\mathrm{\Gamma }$ — ширина уровня Ландау (не зависит от магнитного поля и температуры), $\mathrm{\Theta }(x)$ — ступенчатая функция, амплитудный температурный множитель равен

$R_T(k,\mu )=\frac{2{\pi }^{2}kT\mu /\hslash v_F^{2}eB}{\sinh (2{\pi }^{2}kT\mu /\hslash v_F^{2}eB)},$

а множитель Дингля

$R_D(k,\mu )=\exp \left(\frac{-2\pi k|\mu |\mathrm{\Gamma }}{\hslash v_F^{2}eB}\right).$

Формула описывает осцилляции Шубникова — де Гааза не очень близко к точке электронейтральности. В окрестностях самой точки осцилляции магнетопроводимости отсутствуют. При больших концентрациях носителей можно пренебречь шириной запрещённой зоны и уширением уровней Ландау (${\mu }^2\gg {\mathrm{\Delta }}^2+{\mathrm{\Gamma }}^2$), и частота осцилляций по обратному магнитному полю совпадает с формулой, полученной ранее.