Подгруппа кручения

Подгру́ппа круче́ния — это подгруппа, образуемая множеством элементов конечного порядка в абелевой группе. Подгруппа кручения абелевой группы $A$ обозначается $\mathrm{Tor}A$. Подгруппой p-кручения ${\mathrm{Tor}}_{p}A$ называется множество всех элементов, порядок которых суть некоторая степень p. Подгруппы кручения и p-кручения группы определены однозначно. Любая конечнопорождённая абелева группа может быть разложена в прямую сумму вида

$A\cong {\mathbb{Z}}^n\oplus \mathrm{Tor}A\simeq {\mathbb{Z}}^n\oplus \underset{i}{⨁}{\mathrm{Tor}}_{p_i}A$

где $p_i$ — простые числа. ${\mathrm{Tor}}_{p_i}\cong {\mathbb{Z}}_{p_i^{k_i}}^{+}$. Компоненты ${\mathrm{Tor}}_{p_i}$ являются примарными. Существует и другое разложение подгруппы кручения: $\mathrm{Tor}A\cong {\mathbb{Z}}_{u_1}\oplus \dots \oplus {\mathbb{Z}}_{u_r}$, где $u_1\mid u_2,...,u_{r-1}\mid u_r$. Числа $u_i$ также определены однозначно и называются инвариантными множителями группы.

См. также

• Группа с кручением
• Кручение (алгебра)

Литература

• Шаблон:Книга