Полугеодезические координаты

Полугеодезические координаты или геодезические нормальные координаты ― координаты $x_1,x_2,...,x_n$ в $n$-мерном римановом многообразии, характеризующиеся тем, что координатные линии, соответствующие $x_1$, являются геодезическими, на которых $x_1$ играет роль натурального параметра, а координатные поверхности $x_1=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$ ― ортогональны этим геодезическим.

В полугеодезических координатах первая квадратичная форма имеет вид

$\mathrm{I}=d{x}_1^2+\sum _{i,j=2}^n{g}_{ij}d{x}_{i}d{x}_j,$

то есть $g_{11}\equiv 1$ и $g_{1j}\equiv 0$ при всех $j>1$.

Примеры

• Декартовы координаты на евклидовом пространстве являются полугеодезическими.

• Пространство Лобачевского допускает полугеодезические координаты с метрическим тензоромШаблон:Нет АИ 2

  $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& e^{2\cdot x_1}& \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & 0\\ 0& \cdots & 0& e^{2\cdot x_1}\end{array}\right)$

  • Иначе говоря, $n$-мерное пространство Лобачевского изометрично искривлённому произведению ${ℝ}^{n-1}{\times }_{\exp }ℝ$.

Свойства

• Полугеодезические координаты можно ввести в достаточно малой окрестности любой точки любого риманова многообразия.

• Любое полное одновязное многообразие неположительной кривизны допускает глобальные полугеодезические координаты с первой координатой равной функции БуземанаШаблон:Нет АИ 2.

• В случае двумерной поверхности (многообразия) первая квадратичная форма в полугеодезических координатах $u,v$ имеет вид

  $\mathrm{I}=d{u}^2+B^2(u,v)d{v}^2$

с положительной функцией $B(u,v)$, при этом гауссова кривизна поверхности вычисляется по формуле

$K=-B_{uu}/B.$

Литература

• Ш. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии, М.: Наука, 1981.
• W. Klingenberg. Riemannian geometry, de Gruyter (1982).
• W. Klingenberg. A course in differential geometry, Springer (1983).
• B. O'Neill. Semi-Riemannian geometry (with applications to relativity), Acad. Press (1983).

Ссылки

• Шаблон:Книга
• Encyclopedia of Mathematics