Постоянная Голомба — Дикмана

Постоянная Голомба — Дикмана — математическая константа, возникающая в случайных перестановках и в теории чисел, равная:

$\lambda =0,62432998854355087099293638310083724\dots$.

Названа по именам Соломона Голомба и Карла Дикмана. Вычисляется из всех перестановок множества из $n$ элементов с использованием средней длины наиболее длинного цикла перестановки $a_n$:

$\lambda =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{n}$.

С точки зрения теории вероятностей $\lambda n$ является асимптотой ожидания длины наиболее длинного цикла равномерно распределённых случайных перестановок множества из $n$ элементов.

В теории чисел постоянная возникает в связи со средним значением наибольшего простого делителя целого числа:

$\lambda =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=2}^n\frac{\log (P_1(k))}{\log (k)}$

где $P_1(k)$ — наибольший простой делитель числа $k$. Таким образом, если $k$ — $d$-значное десятичное целое, то $\lambda d$ является асимптотой среднего числа знаков в наибольшем простом делителе $k$.

Другой источник из теории чисел — вероятность того, что второй по величине простой делитель числа $n$ меньше квадратного корня из наибольшего простого делителя $n$, асимптотически равная $\lambda$:

$\lambda =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{prob}\{P_2(n)⩽\sqrt{P_1(n)}\}$

где $P_2(n)$ — второй по величине простой делитель $n$.

Существует несколько интегральных представлений для $\lambda$:

$\lambda =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t-{\mathrm{Ei}}_1(t)}dt$, где ${\mathrm{Ei}}_1(t)$ — модифицированная интегральная показательная функция,

$\lambda =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\rho (t)}{t+2}dt$

$\lambda =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\rho (t)}{(t+1{)}^2}dt$, где $\rho (t)$ — это функция Дикмана.

Вопрос о рациональности или иррациональности постоянной открыт.

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Книга