Функция Дикмана

График функции Дикмана—де Брёйна ρ(u) на логарифмической шкале. Горизонтальная ось — аргумент u, а вертикальная — значение функции. График выглядит на логарифмической шкале почти как прямая, что показывает квазилинейность логарифма функции.

В аналитической теории чисел функцией Дикмана (другое название — функция Дикмана — де Брёйна) ρ называется специальная функция, используемая для оценки числа гладких чисел для заданной границы. Впервые функция появилась у Карла Дикмана, в его единственной статье, посвященной математике. Позже функция была изучена датским математиком Николасом де Брёйном.

Определение

Функция Дикмана — де Брёйна $\rho (u)$ — это непрерывная функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению со сдвигом

$u{\rho }^{\prime }(u)+\rho (u-1)=0$

с начальными условиями $\rho (u)=1$ для 0 ≤ u ≤ 1.

Дикман, основываясь на эвристических соображениях, показал, что

$\mathrm{\Psi }(x,x^{1/a})\sim x\rho (a)$

где $\mathrm{\Psi }(x,y)$ — число y-гладких целых, меньших  x.

В. Рамасвами (V. Ramaswami) позднее дал строгое доказательство, что

$\mathrm{\Psi }(x,x^{1/a})=x\rho (a)+O(x/\log x)$

в нотации О большое.

Приложения

Основное приложение функция Дикмана-де Брёйна находит в оценке частоты появления гладких целых в заданных границах. Функция может быть использована для оптимизации различных теоретико-числовых алгоритмов, хотя и сама по себе она интересна.

Используя $\log \rho$, можно показать, что

$\mathrm{\Psi }(x,y)=x{u}^{O(-u)}$,

что связано с оценкой $\rho (u)\approx u^{-u}$, приведенной ниже.

Постоянная Голомба — Дикмана имеет альтернативное определение в терминах функции Дикмана — де Брёйна.

Оценка

Простым приближением может служить $\rho (u)\approx u^{-u}.$ Лучшую оценку даёт

$\rho (u)\sim \frac{1}{\xi \sqrt{2\pi u}}\cdot \exp (-u\xi +\mathrm{Ei}(\xi ))$,

где Ei — интегральная показательная функция, а ξ — положительный корень уравнения

$e^{\xi }-1=u\xi .$

Простую верхнюю оценку дает $\rho (x)\le 1/x!.$

$u$	$\rho (u)$
1	1
2	3.0685282Шаблон:E
3	4.8608388Шаблон:E
4	4.9109256Шаблон:E
5	3.5472470Шаблон:E
6	1.9649696Шаблон:E
7	8.7456700Шаблон:E
8	3.2320693Шаблон:E
9	1.0162483Шаблон:E
10	2.7701718Шаблон:E

Вычисление

Для каждого интервала [n − 1, n] с целым n существует аналитическая функция ${\rho }_n$, такая, что ${\rho }_n(u)=\rho (u)$. Для 0 ≤ u ≤ 1, $\rho (u)=1$. Для 1 ≤ u ≤ 2, $\rho (u)=1-\log u$. Для 2 ≤ u ≤ 3,

$\rho (u)=1-(1-\log (u-1))\log (u)+{\mathrm{Li}}_2(1-u)+\frac{{\pi }^2}{12}$,

где Li₂ — дилогарифм. Остальные ${\rho }_n$ могут быть вычислены, используя бесконечные ряды.

Альтернативным методом вычисления может служить определение верхней и нижней границ методом трапеций.

Расширение

Бах и Перальта определили двумерный аналог $\sigma (u,v)$ функции $\rho (u)$. Эта функция используется для оценки функции $\mathrm{\Psi }(x,y,z)$, аналогичной функции де Брёйна, но учитывающей число y-гладких целых чисел с хотя бы одним простым множителем, большим z. Тогда

$\mathrm{\Psi }(x,x^{1/a},x^{1/b})\sim x\sigma (b,a).$

Внешние ссылки

• Шаблон:Cite arxiv
• Шаблон:Cite arxiv
• Шаблон:Mathworld