Постоянные Ламе

Шаблон:Не путать Постоя́нные Ламе́, упругие постоянные Ламе, коэффициенты Ламе, константы Ламе, модули упругости Ламе (названные в честь французского математика Габриэля Ламе) — Шаблон:Нп1, характеристики упругих деформаций изотропных твёрдых тел, принадлежащие к множеству модулей упругости.

В линейной теории упругости закон Гука выражает линейную зависимость между тензором деформации ε и тензором напряжений σ в упругой среде:

$\sigma =\lambda \mathrm{T}\mathrm{r}(\epsilon )I+2\mu \epsilon .$

Здесь λ называется первым коэффициентом Ламе, а μ — вторым коэффициентом Ламе или модулем сдвига.

Определение через энергию

Энергия упругой деформации является квадратичной формой тензора деформации. Из тензора второго ранга можно составить две разные симметричные скалярные комбинации второй степени. Такими скалярами являются ${\left(\sum _i{\epsilon }_{ii}\right)}^2$ и $\sum _{i,k}{\epsilon }_{ik}^2$.

Вклад упругих деформаций в свободную энергию, таким образом, является линейной комбинацией этих двух скаляров с коэффициентами, которые называются параметрами Ламе.

$F=\frac{\lambda }{2}{\left(\sum _i{\epsilon }_{ii}\right)}^2+\mu \sum _{i,k}{\epsilon }_{ik}^2$.

Связь с другими модулями упругости

Параметр Ламе μ совпадает с модулем сдвига.

Модуль всестороннего сжатия К выражается через параметры Ламе следующим образом:

$K=\lambda +\frac{2}{3}\mu$

Через модуль Юнга E и коэффициент Пуассона ν параметры Ламе выражаются следующим образом:

$\lambda =\frac{\nu E}{(1+\nu )(1-2\nu )}$

$\mu =\frac{E}{2(1+\nu )}$

Литература

• Шаблон:Книга