Поток (геометрическая теория меры)

Шаблон:Другие значения Пото́к — обобщение понятия подмногообразия играющее ключевую роль в геометрической теории меры. В частности, при помощи потоков обычно доказывается существование минимальных поверхностей с особенностями.

Потоки определяются подобно обобщённым функциям — поток есть линейный функционал на пространстве дифференциальных форм.

Определение

Обозначим через ${\mathrm{\Omega }}_c^m(M)$ пространство гладких $m$-форм с компактным носителем на гладком многообразии $M$. Поток определяется как  линейный функционал на ${\mathrm{\Omega }}_c^m(M)$ непрерывен в смысле распределений. То есть, линейный функционал

$T:{\mathrm{\Omega }}_c^m(M)\to ℝ$

есть $m$-поток, если для любой последовательности ${\omega }_k$ гладких форм, носители челнов которой лежат в одном компактном множестве, сходящейся к нулевой форме в $C^{\mathrm{\infty }}$ имеем

$T({\omega }_k)\to 0$

Замечания

• Пространство ${𝒟}_m(M)$ из $m$-мерных потоков на $M$ это вещественное векторное пространство.

• Многое свойства обобщенных функций переносятся на потоки. Например, можно определить носитель потока $T$ как дополнение максимальному открытому множеству $U\subset M$ такому, что

  $T(\omega )=0$ для любой формы $\omega \in {\mathrm{\Omega }}_c^m(U)$.

  • Пространство $m$-мерных потоков с компактным носителем обычно обозначают ${ℰ}_m(M)$.

• Пространство потоков естественно, наделено слабой топологией.

  $T_k\to T⟺T_k(\omega )\to T(\omega ),\mathrm{\forall }\omega .$

Нормы

Можно определить несколько норм на подпространстве пространства всех потоков. Одной из таких норм является масса.

$𝐌(T):=\sup \{T(\omega ):\underset{x}{\sup }||\omega (x)||\le 1\},$

где $||\omega (x)||$ есть $L^{\mathrm{\infty }}$-норма на пространстве форм.

Масса потока является естественным обобщением объёма подмногообразия.

Плоская норма, определяется как

$𝐅(T):=\inf \{𝐌(T-\partial A)+𝐌(A):A\in {ℰ}_{m+1}\}.$

Литература

• Шаблон:Книга