Правила Фудзиты

Правила Фудзиты — набор из семи правил, формально описывающие геометрические построения с помощью плоского оригами, подобным построениям с помощью циркуля и линейки.

Фактически они описывают все возможные способы получения одной новой складки на листе бумаги, путём совмещения уже существующих различных элементов листа — точек и линий. Под линиями подразумеваются края листа или складки бумаги, под точками — пересечения линий. Существенным моментом является то, что сгиб формируется единственной складкой, причём в результате складывания фигура остается плоской.

Часто эти правила называют «аксиомами», хотя с формальной точки зрения аксиомами они не являются.

Правила

Складки в этих правилах существуют не всегда, правило утверждает только, что если такая складка есть, то её «можно» найти.

Правило 1

Пусть заданы две точки $p_1$ и $p_2$, тогда лист можно сложить так, что данные две точки будут лежать на складке. Шаблон:-

Правило 2

Пусть заданы две точки $p_1$ и $p_2$, тогда лист можно сложить так, что одна точка перейдёт в другую. Шаблон:-

Правило 3

Пусть заданы две прямые $l_1$ и $l_2$, тогда лист можно сложить так, что одна прямая перейдёт в другую. Шаблон:-

Правило 4

Пусть заданы прямая $l_1$ и точка $p_1$, тогда лист можно сложить так, что точка попадёт на складку, а прямая перейдёт сама в себя (то есть линия складки будет ей перпендикулярна). Шаблон:-

Правило 5

Пусть заданы прямая $l_1$ и две точки $p_1$ и $p_2$, тогда лист можно сложить так, что точка $p_2$ попадёт на складку, а $p_1$ — на прямую $l_1$. Шаблон:-

Правило 6 (складка Белок)

Пусть заданы две прямые $l_1$ и $l_2$ и две точки $p_1$ и $p_2$, тогда лист можно сложить так, что точка $p_1$ попадёт на прямую $l_1$, а точка $p_2$ попадёт на прямую $l_2$. Шаблон:-

Правило 7

Пусть заданы две прямые $l_1$ и $l_2$ и точка $p$, тогда лист можно сложить так, что точка $p$ попадёт на прямую $l_1$, а прямая $l_2$ перейдёт сама в себя (то есть линия складки будет ей перпендикулярна). Шаблон:-

Замечания

Все складки в этом списке можно получить как результат последовательного применения правила номер 6. То есть для математика они ничего не добавляют, однако позволяют уменьшить количество сгибов. Система из семи правил является полной в том смысле, что они описывают все возможные способы получения одной новой складки на листе бумаги, путём совмещения уже существующих различных элементов листа. Это последнее утверждение было доказано Лэнгом.

Возможные и невозможные построения

Возможные

Все построения являются ничем иным, как решениями какого-либо уравнения, причём коэффициенты этого уравнения связаны с длинами заданных отрезков. Поэтому удобно говорить о построении числа — графического решения уравнения определенного типа. В рамках вышеописанных требований, возможны следующие построения:

• Построение решений линейных уравнений.
• Построение решений квадратных уравнений.
• Построение решений кубических уравнений (правило 6).

Иначе говоря, возможно построить лишь числа равные арифметическим выражениям с использованием квадратного и кубического корней из исходных чисел (длин отрезков). В частности, при помощи таких построений можно осуществить удвоение куба, трисекцию угла, построение правильного семиугольника.

Невозможные

Решение задачи о квадратуре круга однако остаётся невозможным, так как π — трансцендентное число.

История

Основное правило (номер 6) было рассмотрено Маргеритой Пьяцолла Белок, ей же принадлежат первые построения трисекции угла и квадратуры круга с помощью оригами-построений. Складки Белок достаточно для того, чтобы получить складки во всех остальных правилах.

Полный список правил появляется в работе Жака Жюстина, который позднее также ссылался на Питера Мессера как на соавтора. Практически одновременно правила 1—6 были сформулированы Фумиаки Фудзитой. Последнее седьмое правило добавил ещё позже Косиро Хатори.

Вариации и обобщения

Список возможных построений можно значительно расширить, если позволить создание нескольких складок за один раз. Хотя человек, решивший провести несколько складок за одно действие, на практике столкнется с трудностями физического порядка, тем не менее возможно вывести правила, аналогичные правилам Фудзита и для этого случая.

При допущении таких дополнительных правил, возможно доказать следующую теорему:

Любое алгебраическое уравнение степени $n$ может быть решено одновременными $(n-2)$-кратными складками .

Представляет интерес, возможно ли решить то же уравнение складыванием, вовлекающим меньшее количество одновременных складок. Это, несомненно, верно для $n=4$ и неизвестно для $n=5$.

См. также

• Математика оригами
• Метод Лиля
• Построение с помощью циркуля и линейки

Ссылки

• Шаблон:Статья
• Лэнг Р. Huzita Axiomas Шаблон:Wayback.Шаблон:Ref-en
• Hull T. Origami Geometric Constructions.Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Статья