Преобразование Гаусса

В математике, преобразование Гаусса или отображение Гаусса — (измеримая) динамическая система на отрезке [0, 1], заданная отображением

$T:x\mapsto \{1/x\},$

где $\{\cdot \}$ обозначает дробную часть числа. Исследованная в конце XVIII — начале XIX века Гауссом, это одна из первых одномерных динамических систем.

Это преобразование «стирает» первое неполное частное в разложении числа в цепную дробь:

$T([0;a_1,a_2,a_3,\dots ])=[0;a_2,a_3,\dots ].$

Кроме того, оно обладает эргодической инвариантной мерой, абсолютно непрерывной относительно меры Лебега:

$\mu =\frac{1}{\ln 2}\cdot \frac{dx}{1+x},T_{*}\mu =\mu .$

Применение к этой мере эргодической теоремы Биркгофа — Хинчина влечёт существование постоянной Хинчина и утверждение о распределении элементов цепной дроби случайного числа $x\in [0,1]$ — статистика Гаусса — Кузьмина.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:MathWorld