Признак Куммера

Признак Куммера — общий признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Эрнстом Куммером.

Формулировка

Шаблон:Рамка Пусть дан ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(a_n⩾0)$ и произвольная числовая последовательность $\{c_n\}(c_n⩾0)$, такая что ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{c_n}$ расходится. Тогда ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ сходится, если для всех $n>N$ выполняется неравенство:

$K_n=c_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-c_{n+1}⩾\delta$,

где $\delta >0$.

Если же $K_n⩽0$ для $n>N$, то ряд расходится. Шаблон:Конец рамки

Шаблон:Доказ1

Формулировка в предельной форме

Шаблон:Рамка Если существует предел:

$K=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{K}_n$

то при $K>0$ ряд сходится, а при $K<0$ — расходится. Шаблон:Конец рамки

Важные частные случаи

Некоторые другие признаки сходимости рядов являются частными случаями признака Куммера с конкретными видами последовательности $c_n$:

• При $c_n=1$ — признак Даламбера;
• При $c_n=n$ — признак Раабе;
• При $c_n=n\mathrm{l}\mathrm{n}n$ — признак Бертрана.

Литература

• Шаблон:Из

Ссылки

• Шаблон:MathWorld