Признак д’Аламбера

При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}

существует такое число $q$ , $0 < q < 1$ , что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство

| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | ⩽ q,

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | ⩾ 1

,

то ряд расходится.

Если же, начиная с некоторого номера, $| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | < 1$ , при этом не существует такого $q$ , $0 < q < 1$ , что $| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | ⩽ q$ для всех $n$ , начиная с некоторого номера, то в этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться.

Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме

Если существует предел

ρ = \lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} |,

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если $ρ < 1$ , а если $ρ > 1$ — расходится.

Замечание 1. Если $ρ = 1$ , то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Замечание 2. Если $ρ = 1$ , и последовательность $| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} |$ стремится к своему пределу $ρ$ сверху, то про ряд всё-таки можно сказать, что он расходится.

Доказательство

Пусть, начиная с некоторого номера $N$ , верно неравенство $| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | ⩽ q$ , где $0 < q < 1$ . Тогда можно записать $| \frac{a_{N + 1}}{a_{N}} | \leq q$ , $| \frac{a_{N + 2}}{a_{N + 1}} | \leq q$ , …, $| \frac{a_{N + n}}{a_{N + n - 1}} | \leq q$ , и так далее. Перемножив первые n неравенств, получим $| \frac{a_{N + 1}}{a_{N}} | \times | \frac{a_{N + 2}}{a_{N + 1}} | \times . . . \times | \frac{a_{N + n}}{a_{N + n - 1}} | = | \frac{a_{N + n}}{a_{N}} | \leq q^{n}$ , откуда $| a_{N + n} | \leq | a_{N} | q^{n}$ . Это означает, что ряд $| a_{N + 1} | + | a_{N + 2} | + | a_{N + 3} | + . . .$ меньше или равен суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии, и поэтому по признаку сравнения он сходится. Полный ряд из модулей тоже сходится, поскольку первые $N - 1$ членов (последовательности ${a}$ ) роли не играют (их конечное число). Поскольку сходится ряд из модулей, то сходится и сам ряд по признаку абсолютной сходимости. Сходится он при этом абсолютно.
Пусть $| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | \geq 1$ (начиная с некоторого N): тогда можно записать $| a_{n + 1} | \geq | a_{n} |$ . Это означает, что модуль членов последовательности ${a}$ не стремится к нулю на бесконечности, а значит, и сама последовательность ${a}$ не стремится к нулю. Тогда необходимое условие сходимости любого ряда не выполняется, и ряд поэтому расходится.
Пусть $| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | < 1$ , начиная с некоторого $n = N$ . При этом не существует такого $q$ , $0 < q < 1$ , что $| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | ⩽ q$ для всех $n$ , начиная с некоторого номера $N$ . В этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться. Например, оба ряда $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ и $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ удовлетворяют этому условию, причём первый ряд (гармонический) расходится, а второй сходится. Действительно, для ряда $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ верно $| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = \frac{n}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1} < 1$ для любого натурального $n$ . В то же время, поскольку $\lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = 1$ , это означает, что для любого $q$ , $0 < q < 1$ можно подобрать такое число $ε$ , что $1 - ε > q$ , и при этом, начиная с некоторого номера, все члены последовательности ${b}$ , где $b_{n} = | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} |$ , будут находиться на интервале $(1 - ε; 1)$ , то есть $b_{n} > q$ . А это и означает, что не существует такого $q$ , $0 < q < 1$ , что $| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | ⩽ q$ для всех $n > N$ . Эти рассуждения можно повторить и для второго ряда.

Примеры

Ряд $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}$ абсолютно сходится для всех комплексных $z$ , так как $\lim_{n \to \infty} | \frac{z^{n + 1} / (n + 1)!}{z^{n} / n!} | = \lim_{n \to \infty} \frac{| z |}{n + 1} = 0 .$
Ряд $\sum_{n = 0}^{\infty} n! z^{n}$ расходится при всех $z \neq 0$ , так как $\lim_{n \to \infty} | \frac{(n + 1)! z^{n + 1}}{n! z^{n}} | = \lim_{n \to \infty} | (n + 1) z | = \infty .$
Если $ρ = 1$ , то ряд может как сходиться, так и расходиться: оба ряда $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ и $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ удовлетворяют этому условию, причём первый ряд (гармонический) расходится, а второй сходится. Другой пример, для которого нужен признак Раабе: $\sum_{n = 1}^{\infty} {(1 - \frac{\ln n}{n})}^{2 n}$

Ссылки

Шаблон:Нет источников Шаблон:ВС Шаблон:Навигационная таблица

Признак д’Аламбера

Содержание

Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме

Доказательство

Примеры

Ссылки

Навигация

Признак д’Аламбера

Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме

Доказательство

Примеры

Ссылки

Навигация

Поиск