Принцип Гарнака

Шаблон:Другие значения Принцип Гарнака (вторая теорема Гарнака) — теорема о свойствах монотонной последовательности гармонических в ограниченной области функций, распространяющая сходимость в некоторой точке на сходимость во всей области. Установлена немецким математиком Акселем Гарнаком в 1886 году.

Формально, пусть $v_n(z)$ — положительные гармонические в некоторой области $D$ функции; если ряд:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n(z)$

сходится хотя бы в одной точке области $D$, то он равномерно сходится внутри $D$.

Доказательство

Пусть $K$ — круг с центром в $z_0$ и радиусом $R$, лежащий в $D$. Умножая неравенство $\frac{R^2-r^2}{R^2-2Rr\cos (\alpha -\varphi )+r^2}\le \frac{R+r}{R-r}$, где $0\le r<R$, на $\frac{1}{2\pi }{v}_n(z_0+R{e}^{i\alpha })$, и интегрируя по $\alpha$ в пределах от $-\pi$ до $\pi$, получим $v_n(z_0+R{e}^{i\alpha })\le \frac{R+r}{R-r}{v}_n(z_0)$, откуда следует, что если в точке $z_0$ ряд $\sum _1^{\mathrm{\infty }}{v}_n(z)$ сходится, то он сходится в каждой точке внутри $K$. Пусть $K_1,K_2,...,K_m$ — цепочка кругов, лежащих в $D$ и таких, что точка сходимости $z_0$ есть центр круга $K_1$, центр каждого $K_j(1<j\le m)$ лежит внутри $K_{j-1}$, $Z$ лежит внутри $K_m$, где $Z$ — произвольно выбранная точка в $D$. В точке $Z$ в силу изложенного ряд $\sum _1^{\mathrm{\infty }}{v}_n$ оказывается сходящимся, но $Z$ — любая точка в $D$, следовательно, ряд $\sum _1^{\mathrm{\infty }}{v}_n$ сходится в области $D$. Пусть $K$ — произвольный круг с центром $z_1$ и радиусом $\rho$, лежащий в $D$, $\bar{K}$ — концентрический круг большего радиуса $R$, также лежащий в $D$. Умножая неравенство $\frac{R^2-r^2}{R^2-2Rr\cos (\alpha -\varphi )+r^2}\le \frac{R+\rho }{R-\rho }$, где $0\le r<\rho$, на $\frac{1}{2\pi }{v}_n(z_1+R{e}^{i\alpha })$, и интегрируя по $\alpha$ в пределах от $-\pi$ до $\pi$, получим $v_n(z_1+R{e}^{i\alpha })\le \frac{R+\rho }{R-\rho }{v}_n(z_1)$ при $0\le r<\rho$, следовательно, ряд $\sum _1^{\mathrm{\infty }}{v}_n(z)$ мажорируется на круге $K$ числовым сходящимя рядом $\sum _1^{\mathrm{\infty }}\frac{R+\rho }{R-\rho }{v}_n(z_1)$ и, следовательно, равномерно сходится на $K$, но $K$ — любой круг в $D$, следовательно, ряд $\sum _1^{\mathrm{\infty }}{v}_n(z)$ равномерно сходится внутри $D$.

Следствие

Если возрастающая или убывающая последовательность гармонических функций в некоторой области $D$ сходится по крайней мере в одной точке этой области, то она равномерно сходится внутри $D$.

Литература

• Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. М., Наука, 1980, 336 с., тир. 28000 экз.