Принцип детального равновесия

Принцип детального равновесия — общее положение статистики, справедливое для многих случайных (марковских) процессов и физических систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия. Его суть заключается в равенстве вероятностей прямого $(n\to m)$ и обратного $(m\to n)$ переходов между дискретными состояниями системы $m$ и $n$.

Марковская цепь, для которой выполняется принцип детального равновесия, называется обратимой.

Принцип детального равновесия, в частности, справедлив в приложении к статистической физике и квантовой механике, поскольку он является следствием основных принципов квантовой механики, например, симметрии квантовых уравнений движения относительно обращения времени.

В общем случае, принцип детального равновесия можно сформулировать как равенство вероятностей перехода, отнесённых к конечному состоянию:

$\frac{w_{mn}}{P_m}=\frac{w_{nm}}{P_n}$,

где

• $P_m={\rho }_{mm}$ и $P_n={\rho }_{nn}$ — вероятности того, что система находится в состояниях $m$ и $n$, соответствующие диагональным элементам матрицы плотности $\rho$;
• $w_{mn}=\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}(n\to m)$ — вероятность прямого перехода системы из состояния $n$ в состояние $m$;
• $w_{nm}=\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}(m\to n)$ — вероятность обратного перехода системы из состояния $m$ в состояние $n$.

В отличие от обычного стационарного состояния, для которого достаточно выполнения условия:

$\frac{d{P}_n}{dt}=\sum _{m\ne n}(w_{nm}\cdot P_m-w_{mn}\cdot P_n)=0$,

детальное равновесие требует равенства нулю каждого из членов суммы, то есть:

$w_{nm}\cdot P_m=w_{mn}\cdot P_n$.

История

Принцип детального равновесия для сталкивающихся молекул был сформулирован Людвигом Больцманом, который использовал его для доказательства H-теоремы.

В 1901 году Рудольф Вегшейдер вывел принцип детального равновесия применительно к химической кинетике.

Частные формулировки

В квантовой механике математическим выражением принципа детального равновесия является равенство матричных элементов перехода для прямого и обратного процессов $|T_{ab}{|}^2=|T_{ba}{|}^2$Шаблон:Sfn

Для замкнутых изолированных систем принцип детального равновесия сводится к равенству:

$w_{mn}=w_{nm}.$

Если же система не изолирована и взаимодействует с другой большой системой (термостатом), то согласно принципу детального равновесия:

$\frac{w_{mn}}{w_{nm}}=\exp \frac{E_n-E_m}{kT}.$

Для газа, подчиняющегося статистике Больцмана, принцип детального равновесия принимает вид:

$f{f}_1=f^{\prime }{f_1}^{\prime },$

где

• $f=f(\overrightarrow{r},\overrightarrow{p},t),f_1=f(\overrightarrow{r},{\overrightarrow{p}}_1,t)$ — функции распределения частиц с импульсами $\overrightarrow{p},{\overrightarrow{p}}_1$ до столкновения;
• $f^{\prime }=f(\overrightarrow{r},{\overrightarrow{p}}^{\prime },t),{f_1}^{\prime }=f(\overrightarrow{r},{{\overrightarrow{p}}_1}^{\prime },t)$ — функции распределения частиц с импульсами ${\overrightarrow{p}}^{\prime },{{\overrightarrow{p}}_1}^{\prime }$ после столкновения;

Для квантовых газов:

$f{f}_1(1\pm f^{\prime })(1\pm {f_1}^{\prime })=f^{\prime }{f_1}^{\prime }(1\pm f)(1\pm f_1),$

где знак «+» соответствует бозонам, а знак «−» — фермионам.

См. также

• Основное кинетическое уравнение

Литература

• Шаблон:Из
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга