Производная Дини

В анализе функций действительных переменных производные Дини — это одно из обобщений понятия производной.

Верхняя производная Дини непрерывной функции

$f:ℝ\to ℝ,$

обозначается через $f{\text{'}}_{+}$ и определяется как

$f{\text{'}}_{+}(t)\triangleq \underset{h\to 0+}{\bar{\lim }}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$,

где $\bar{\lim }$ есть верхний частичный предел.

Нижняя производная Дини, $f{\text{'}}_{-},$ определяется как

$f{\text{'}}_{-}(t)\triangleq \underset{h\to 0+}{\underset{―}{\lim }}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$,

где $\underset{―}{\lim }$ есть нижний частичный предел.

Если $f$ определена на векторном пространстве, тогда верхняя производная Дини в точке $t$ по направлению $d$ определяется как

$f{\text{'}}_{+}(t,d)\triangleq \underset{h\to 0+}{\bar{\lim }}\frac{f(t+hd)-f(t)}{h}.$

Если $f$ локально липшицева (то есть у каждой точки существует окрестность, ограничение $f$ на которую — липшицева функция), то $f{\text{'}}_{+}$ конечна. Если $f$ дифференцируема в точке $t$, тогда производная Дини в этой точке совпадает с обычной производной в $t$.

Примечания

• Иногда используют обозначение $D^{+}f(t)$ вместо $f{\text{'}}_{+}(t),$ и $D_{+}f(t)$ используется вместо $f{\text{'}}_{-}(t).$

• Также используют обозначения

$D^{-}f(t)\triangleq \underset{h\to 0-}{\bar{\lim }}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$

и

$D_{-}f(t)\triangleq \underset{h\to 0-}{\underset{―}{\lim }}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$

• Таким образом, когда используется $D$-нотация производных Дини, знаки плюс и минус обозначают левосторонний или правосторонний предел, а положение знака указывают на тип производной (верхняя или нижняя).

• На расширенной числовой прямой каждая из производных Дини всегда существует, однако они могут иногда принимать значения $+\mathrm{\infty }$ или $-\mathrm{\infty }$

Литература

• Шаблон:Книга