Противоположная теорема

Противоположная теорема — это утверждение, в котором условие и заключение исходной теоремы заменены их отрицаниями. Каждая теорема может быть выражена в форме импликации $A\Rightarrow B$, в которой посылка $A$ является условием теоремы, а следствие $B$ является заключением теоремы. Тогда теорема, записанная в виде $\bar{A}\Rightarrow \bar{B}$ является противоположной к нейШаблон:Sfn. Здесь $\bar{A}$ — отрицание $A$, $\bar{B}$ — отрицание $B$. Доказательство необходимости и достаточности условий $A$ теоремы $A\Rightarrow B$ для её заключения $B$ сводится к доказательству одной из двух противоположных теорем ($A\Rightarrow B$ и $\bar{A}\Rightarrow \bar{B}$; $B\Rightarrow A$ и $\bar{B}\Rightarrow \bar{A}$) или одной из двух обратных теорем ($A\Rightarrow B$ и $B\Rightarrow A$; $\bar{A}\Rightarrow \bar{B}$ и $\bar{B}\Rightarrow \bar{A}$)Шаблон:Sfn.

Если условие и/или заключение теоремы являются сложными суждениями, то противоположная теорема допускает множество не равносильных друг другу формулировок. Например, если условием теоремы является $A$, а заключением $Y\Rightarrow Z$: $A\Rightarrow (Y\Rightarrow Z)$, то для противоположной теоремы существует пять форм:Шаблон:Sfn

1. $\bar{A}\Rightarrow (\overline{Y\Rightarrow Z})$
2. $\bar{Y}\Rightarrow (\overline{A\Rightarrow Z})$
3. $\overline{A\mathrm{\&}Y}\Rightarrow \bar{Z}$
4. $A\Rightarrow (\bar{Y}\Rightarrow \bar{Z})$
5. $Y\Rightarrow (\bar{A}\Rightarrow \bar{Z})$

Свойства

• Прямая теорема эквивалентна теореме, противоположной обратной: $(A\Rightarrow B)\iff (\bar{B}\Rightarrow \bar{A})$
• Обратная теорема эквивалентна противоположной прямой: $(B\Rightarrow A)\iff (\bar{A}\Rightarrow \bar{B})$Шаблон:Sfn

Примеры

• Теорему Пифагора можно сформулировать следующим образом:

Если в треугольнике со сторонами длиной $a$, $b$ и $c$ угол, противолежащий стороне $c$, прямой, то $a^2+b^2=c^2$.

Противоположная к теореме Пифагора теорема может быть сформулирована следующим образом:

Если в треугольнике со сторонами длиной $a$, $b$ и $c$ угол, противолежащий стороне $c$, не является прямым, то $a^2+b^2\ne c^2$.

См. также

• Обратная теорема

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга