Псевдогармонические колебания

Псевдогармоническое колебание — разновидность колебаний, для которых возвращающая сила (сила, стремящаяся вернуть тело в равновесное состояние) не является линейной по величине отклонения. Другими словами, это колебания, для которых «гибкость» системы зависит от перемещения.

Уравнение колебаний

Общий вид уравнения псевдогармонических колебаний:

$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=F(x,x^2,x^3,\dots )$.

Если можно пренебречь всеми членами F нелинейными по x, то данное уравнение переходит в уравнение гармонических колебаний.

Примеры

Упругая невесомая проволока длиной 2l закреплена с двух концов. Груз массы m закреплен посередине проволоки. В начальный момент времени груз выведен из положения равновесия на расстояние a << l и отпущен без начальной скорости. Сила натяжения проволоки - P, её сечение - F и модуль Юнга - Е. Уравнение колебаний в данном случае запишется в виде:

$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-\frac{2Px}{l}-\frac{EF{x}^3}{l^3}$.

Решение этого уравнения можно представить в виде:

$x=a\mathrm{cn}\left(\sqrt{\frac{2Pl+EF{a}^2}{m{l}^3}}t\right)$.

Здесь символом $\mathrm{cn}$ обозначена эллиптическая функция Якоби. Период таких колебаний равен:

$T=4\sqrt{\frac{m{l}^3}{2Pl+EF{a}^2}}K\left(\sqrt{\frac{EF{a}^2}{4P{l}^2+2EF{a}^2}}\right)$

Здесь К - полный нормальный эллиптический интеграл первого рода

См. также

• Гармонические колебания

Литература

• Ю.С. Сикорский Обыкновенные Дифференциальные уравнения //М., УРСС, 2005