Псевдолокальность потока Риччи

Псевдолокальность — одно из свойств потока Риччи, которое качественно отличает его от линейных потоков, например, от уравнения теплопроводности. Свойство утверждает, что если некоторая окрестность точки в начальный момент выглядит почти как кусок евклидова пространства, то это свойство сохранится определённое время в потоке Риччи для меньшей окрестности.

Псевдолокальность потока Риччи была доказана Перельманом.

Формулировка

Для положительного целого $n$ существуют $\delta ,\epsilon >0$ такие, что выполняется следующее утверждение.

• Пусть $M$ компактное $n$-мерное многообразие и $g_t$ решение потока Риччи на $M$ определённое во временном интервале $[0,{\epsilon }^2]$. Предположим для некоторой точки $x\in M$ изопериметрическая константа в шаре $B(x,1{)}_{g_0}$ не меньше чем $(1-\delta )\cdot c_n$, где $c_n$ изопериметрическая константа $n$-мерного евклидова пространства и скалярная кривизна $g_0$ не меньше $-1$ везде в $B(x,1{)}_{g_0}$. Тогда

  $|{\mathrm{R}\mathrm{m}}_{g_t}|\le \frac{1}{t}+\frac{1}{{\epsilon }^2}$

во всех точках шара $B(x,\epsilon {)}_{g_t}$ при $t\in [0,{\epsilon }^2]$.