Пятиугольная пирамида

Пятиуго́льная пирами́да — пирамида, имеющая пятиугольное основание.

Составлена из 6 граней: 5 треугольников и 1 пятиугольника. Имеет 10 рёбер и 6 вершин.

Если основание пятиугольной пирамиды — правильный пятиугольник, а боковые грани — равнобедренные треугольники, пирамида является правильной и имеет группу симметрии C_5v.

Правильная (слева) и неправильная (справа) пятиугольные пирамиды

Многогранник Джонсона

Если основание пятиугольной пирамиды — правильный пятиугольник, а боковые грани — равносторонние треугольники, пирамида является одним из многогранников Джонсона (J₂, по Залгаллеру — М₃).

Если рёбра такой пирамиды имеют длину $a$, её площадь поверхности и объём выражаются как

$S=\frac{1}{4}(5\sqrt{3}+\sqrt{25+10\sqrt{5}})a^2\approx 3,8855409a^2,$

$V=\frac{1}{24}(5+\sqrt{5})a^3\approx 0,3015028a^3.$

Высота пирамиды при этом будет равна

$H=\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}}a\approx 0,5257311a,$

радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) —

$R=\frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}a\approx 0,9510565a,$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

$\rho =\frac{1}{4}(1+\sqrt{5})a\approx 0,8090170a,$

радиус вписанной сферы (касающейся всех граней) —

$r=\frac{1}{40}(3+\sqrt{5})(5\sqrt{3}-\sqrt{25+10\sqrt{5}})a\approx 0,2327883a.$

Ссылки

• Шаблон:Mathworld