Равномерная плотность

Равномерная плотность — свойство семейства мер; формализует то, что семейство не убегает на бесконечность.

Определение

Пусть $(X,T)$ — Хаусдорфово пространство, и пусть $\mathrm{\Sigma }$ — сигма-алгебра на $X$, включающая открытые (а значит и борелевские) множества. Пусть $M$ — семейство мер, определенных на $\mathrm{\Sigma }$. Семейство $M$ называется равномерно плотным, если для любого $\epsilon >0$ существует компактное подмножество $K_{\epsilon }$ в $X$, такое, что для всех мер $\mu \in M$ выполняется неравенство

$|\mu |(X\setminus K_{\epsilon })<\epsilon ,$

здесь $|\mu |$ — это вариация меры $\mu$.

Замечания

• Часто предполагается, что меры вероятностные; в этом случае ключевое неравенство можно переписать как

  $\mu (K_{\epsilon })>1-\epsilon .$

• Если равномерно плотное семейство $M$ состоит из одной меры $\mu$, то сама мера $\mu$ называется плотной.
• Если $Y$ — это $X$-значная случайная величина, у которой распределение является плотной мерой на $X$, то говорят, что $Y$ радонова случайная величина.

Примеры

• Любое семейство мер на компактном метризуемом пространстве равномерно плотна.
  • Это не обязательно верно для неметризуемых пространств.
• Если $X$ — польское пространство, то любая вероятностная мера плотна.
  • Согласно теореме Прохорова, семейство вероятностых мер на $X$ равномерно плотно, тогда и только тогда, когда это оно предкомпактно в топологии слабой сходимости.

Литература

• Ширяев А. Н. Вероятность. М.: Наука, 1980. 576 с.