Распределение арксинуса

Шаблон:Вероятностное распределение Распределение арксинуса (Шаблон:Lang-en) — распределение вероятностей, функция распределения которого имеет вид

$F(x)=\frac{2}{\pi }\arcsin \left(\sqrt{x}\right)=\frac{\arcsin (2x-1)}{\pi }+\frac{1}{2}$

при 0 ⩽ x ⩽ 1, а плотность вероятности равна

$f(x)=\frac{1}{\pi \sqrt{x(1-x)}}$

на (0, 1). Стандартное распределение арксинуса является частным случаем бета-распределения при α = β = 1/2. Таким образом, если $X$ представляет собой стандартное распределение арксинуса, то $X\sim \mathrm{Beta}(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$.

Обобщение

Распределение арксинуса можно обобщить на случай произвольного ограниченного носителя a ⩽ x ⩽ b с помощью простого преобразования

$F(x)=\frac{2}{\pi }\arcsin \left(\sqrt{\frac{x-a}{b-a}}\right)$

при a ⩽ x ⩽ b. Плотность вероятности задаётся функцией

$f(x)=\frac{1}{\pi \sqrt{(x-a)(b-x)}}$

на (a, b).

Обобщённое стандартное распределение арксинуса на (0, 1) с плотностью распределения

$f(x;\alpha )=\frac{\sin \pi \alpha }{\pi }{x}^{-\alpha }(1-x{)}^{\alpha -1}$

представляет собой частный случай бета-распределения с параметрами $\mathrm{Beta}(1-\alpha ,\alpha )$.

Заметим, что при $\alpha =1/2$ обобщённое распределение арксинуса приводится к указанному выше виду.

Свойства

• Распределение арксинуса замкнуто относительно сдвига и масштабирования на положительный множитель:

  если $X\sim \mathrm{Arcsine}(a,b)$, то $kX+c\sim \mathrm{Arcsine}(ak+c,bk+c).$

• Квадрат распределения арксинуса на (−1, 1) обладает распределением арксинуса на (0, 1):

  если $X\sim \mathrm{Arcsine}(-1,1)$, то $X^2\sim \mathrm{Arcsine}(0,1).$

Связанные распределения

• Если U и V независимые и одинаково равномерно распределённые случайные величины на (−π, π), то $\sin (U)$, $\sin (2U)$, $-\cos (2U)$, $\sin (U+V)$ и $\sin (U-V)$ обладают распределением $\mathrm{Arcsine}(-1,1)$.
• Если $X$ — обобщённое распределение арксинуса с параметром $\alpha$ на носителе [a, b], тогда $\frac{X-a}{b-a}\sim \mathrm{Beta}(1-\alpha ,\alpha ).$

Примечания

• Rogozin, B.A. (2001) [1994], "A/a013160", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4